8 / 10

Aufgabenstellung:

Beweise per vollständiger Induktion, für welche gilt:

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

1. Induktionsanfang:

Für gilt:

Da rechts und links das gleiche steht, stimmt die Ungleichung für noch nicht.

Für gilt:

Somit ist die kleinste natürliche Zahl, für die die Aussage stimmt.

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Es existiert ein für das gilt:

3. Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Induktionsbehauptung:

Induktionsschluss:

Ziehe das letzte Glied aus dem Produkt heraus, damit der Produktindex nur noch bis geht und setze die IV ein:

Sortiere die Terme und ziehe den richtigen Term in die Summe, damit der Summenindex bis läuft:

Die ersten beiden Terme entsprechen bereits unserer Lösung. Der Rest muss also entfernt werden.

Schlusssatz:

Lösung:

Mit Schritt 1, 2 und 3 ist bewiesen, dass die Aussage für alle mit erfüllt ist.