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Aufgabenstellung:

Prüfe, welche der folgenden Mengen eine Teilmenge von ist:

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Untersuche/Vereinfache zunächst die Menge :

Finde alle Werte für , welche die Ungleichung lösen.

Was musst du beachten, wenn du mit multiplizierst?

Es muss eine Fallunterscheidung gemacht werden, da sowohl positiv als auch negativ sein kann und sich bei einem negativen das " " Zeichen beim multiplizieren umdreht.

Betrachte zunächst den Fall :

Daraus erhälst du die Lösungen: und .

Durch die getroffene Fallbedingung verringert sich die Lösungsmenge für den ersten Fall auf: bzw.

Betrachte nun den Fall :

Drehe das " " Zeichen um, wenn du mit multiplizierst.

Daraus erhälst du die Lösungen und .

Durch die getroffene Fallbedingung verringert sich die Lösungsmenge für den zweiten Fall auf: bzw.

Führe die beiden Fälle in einer Menge zusammen.

Es muss und gelten und es ergibt sich als vereinfachte Menge:

. Vergleiche nun die vereinfachte Menge mit den gegebenen Mengen .

Untersuche ob Menge eine Teilmenge von ist:

ist keine Teilmenge von , da z.B. der Wert oder definitiv nicht in enthalten ist.

Merke: Eine Menge bestehend aus reellen Zahlen ist selten eine Teilmenge einer Menge mit rationalen Zahlen.

Untersuche ob Menge eine Teilmenge von ist:

Das Intervall kannst du auch so schreiben:

Was bedeutet nun, dass gilt?

Wenn man das Intervall mit schneidet reduziert man das Intervall auf die rationalen Zahlen, die in diesem liegen.

Somit ist eine Teilmenge von , da die rationalen Zahlen zwischen und in enthalten sind.

Untersuche ob Menge eine Teilmenge von ist:

Die Menge besteht nur aus zwei Elementen. Schaue dir das zweite Element genauer an.

ist keine Teilmenge von , da keine rationale Zahl ist und lediglich rationale Zahlen enthällt.

Zusammengefasst ist das Ergebnis:

ist keine Teilmenge.

ist Teilmenge.

ist keine Teilmenge.

Lösung:

ist keine Teilmenge.

ist Teilmenge.

ist keine Teilmenge.