Grenzwert Funktion 

In diesem Kapitel werden einfache Folge behandelt, also Folgen welche nicht Rekursiv oder alternierend sind.

Einfache Folgen

Das Sandwichkriterium kann helfen, die Konvergenz einer Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ durch Abschätzungen nachzuweisen, ohne explizit den Grenzwert $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ zu bilden. Dies ist vor allem dann nützlich, wenn das direkte Bilden von $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ schwierig ist.

Sandwich-Kriterium

Das Sandwichkriterium kann helfen, die Konvergenz einer Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 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Dies ist vor allem dann nützlich, wenn das direkte Bilden von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.062ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4447.4 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 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Sandwichkriterium

Der Sandwichsatz

Als rekursive Folge werden Folgen bezeichnet, in der die Bildungsregel des $n$-ten Gliedes jeweils vom Vorgängerglied $(n-1)$ abhängt. Zum Berechnen eines beliebigen Gliedes ist es also immer notwendig, das vorherige Glied bereits errechnet zu haben.
Ein Beispiel für eine rekursive definierte Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ wäre z.B.:
$a_{0}=0, \ \ \ a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2}$

Rekursive Folgen

Als rekursive Folge werden Folgen bezeichnet, in der die Bildungsregel des <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-ten Gliedes jeweils vom Vorgängerglied <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(n-1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.015ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3100.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1211.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2211.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2711.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-8-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> abhängt. Zum Berechnen eines beliebigen Gliedes ist es also immer notwendig, das vorherige Glied bereits errechnet zu haben.
Ein Beispiel für eine rekursive definierte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-9-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1392.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1781.3, -285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-9-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> wäre z.B.:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_{0}=0, \ \ \ a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.919ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 11014.1 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 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210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1210.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2266.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2766.1, 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Vollständige Induktion

Eine Folge heißt alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind, d. h. sich ihr Vorzeichen immer wieder von "plus" nach "minus" und umgekehrt ändern.

Alternierende Folgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Die Folge konvergiert und hat den Grenzwert $-\frac{1}{4}$</p>

<p>Die Folge konvergiert und hat den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="-\frac{1}{4}" style="vertical-align: -0.781ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.556ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 1571.6 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(778,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-34"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bringe alles auf einen Bruch und vereinfache:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{5 n^{4}+2 n^{2}}{2 n^{3}+3}-\frac{10 n+1}{4}\right)</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}} &amp;=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{20 n^{4}+8 n^{2}-20 n^{4}-30 n-2 n^{3}-3}{8 n^{3}+12} \\\\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-2 n^{3}+8 n^{2}-30 n-3}{8 n^{3}+12}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Klammer im Zähler und Nenner die höchste Potenz von $n$ aus. Kürze anschließend und gib den Grenzwert an:</p>


<p>Klammer im Zähler und Nenner die höchste Potenz von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n" style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aus. Kürze anschließend und gib den Grenzwert an:</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} &amp;=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3}\left(-2+8 \frac{1}{n}-30 \frac{1}{n^{2}}-3 \frac{1}{n^{3}}\right)}{n^{3}\left(8+12 \frac{1}{n^{3}}\right)} \\\\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-2+8 \frac{1}{n}-30 \frac{1}{n^{2}}-3 \frac{1}{n^{3}}}{8+12 \frac{1}{n^{3}}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} &amp;=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Untersuche die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p>$$a_{n}=\frac{5 n^{4}+2 n^{2}}{2 n^{3}+3}-\frac{10 n+1}{4}$$</p>

<p>Untersuche die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=\frac{5 n^{4}+2 n^{2}}{2 n^{3}+3}-\frac{10 n+1}{4}" style="vertical-align: -1.813ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.354ex" height="5.246ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1517.7 12090.3 2318.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Einfache Folgen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Folgen - Grenzwerte (Konvergenz) - Einfache Folgen | Aufgabe mit Lösun


<h2 class="content_sub_heading">Grenzwert einer Folge</h2>
<p>Der Grenzwert bzw. Limes $a$ einer Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ berechnet sich (falls er existiert) über:</p>
<p>$$\quad a=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$$</p>



<h2 class="content_sub_heading">Grenzwert einer Folge</h2>
<p>Der Grenzwert bzw. Limes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad a=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}" style="vertical-align: -1.601ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.357ex" height="3.171ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 5904 1401.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-47-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-47-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 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<h2 class="content_sub_heading">Konvergenz/Divergenz von Folgen</h2>
<ul>
<li>Wenn der Grenzwert einer Folge existiert, so <strong>konvergiert</strong> die Folge gegen diesen Grenzwert $a$.</li>
<li>Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt <strong>divergent: <br /></strong>$$\quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\pm \infty$$</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Konvergenz/Divergenz von Folgen</h2>
<ul>
<li>Wenn der Grenzwert einer Folge existiert, so <strong>konvergiert</strong> die Folge gegen diesen Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-48-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-48-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</li>
<li>Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt <strong>divergent: <br /></strong><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\pm \infty" style="vertical-align: -1.601ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.183ex" height="3.171ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 7153 1401.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-49-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-49-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 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</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Grenzwertsätze</h2>
<p>Wenn zwei Folgen $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ und $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergieren, dann gilt:</p>
<p> </p>
<ul>
<li>\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) =\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \]</li>
<li>\[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right) =\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \]</li>
<li>\[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}}, \quad b_{n} \neq 0\]</li>
</ul>
<p> </p>


<p>Falls ein Bruch $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ von der Form $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ oder $\left(\frac{0}{0}\right)$ vorliegt:</p>
<ul>
<li>Finde die größte Potenz von $n$ im Nenner und klammere diese in Zähler und Nenner aus. Kürze anschließend und schaue wo Nullfolgen entstanden sind.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}-b_{n}$ von der Form $(\infty-\infty)$:</p>
<ul>
<li>Nutze zunächst die Umformung $a-b=\frac{(a-b) \cdot(a+b)}{a+b}=\frac{a^{2} b^{2}}{a+b}$ um die Form $\frac{\infty}{\infty}$ zu erhalten. Nun kannst du obigen Tipp verwenden.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}$ von der Form $\left(1^{\infty}\right)$:</p>
<ul>
<li>Bringe den Ausdruck auf die Form $\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ und nutze anschließend, dass gilt $\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Grenzwerte bekannter Folgen</h2>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;"><strong>Konvergente Folgen</strong>:</span></p>
<p> </p>
<p>\begin{alignat*}{1}</p>
<p>\quad &amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\alpha}} &amp; =0, \quad \alpha&amp;gt;0 \\\\</p>
<p>&amp;&amp;  \bullet \lim _{n \rightarrow \infty} a^{n} &amp; =0, \quad |a|&amp;lt;1 \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}} &amp; =0 \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} &amp;=1, \quad a&amp;gt;0 \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} &amp;=1 \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} &amp;=e^{x} \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n !}} &amp;=e</p>
<p>\end{alignat*}</p>
<p> </p>
<p><span style="font-size: 18px; font-weight: bold;"><strong>Divergente Folgen</strong>:</span></p>
<p> </p>
<p>\begin{alignat*}{1}</p>
<p>\quad &amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n !} \quad &amp;=\infty \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} e^{n}&amp;=\infty \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} \ln (n)&amp;=\infty \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} n ! &amp;=\infty \\\\</p>
<p>&amp;&amp;\bullet\lim _{n \rightarrow \infty} a^{n}&amp;=\infty</p>
<p>\end{alignat*}</p>



<p><strong>monotone Folgen</strong><br />Für eine reelle Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ definieren wir:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\begin{array}{ll}\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { wächst streng monoton } &amp; : \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: a_{n+1} &gt; a_{n} \\ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { wächst monoton } &amp; : \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: a_{n+1} \geq a_{n} \\ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { fällt streng monoton } &amp; : \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: a_{n+1} &lt; a_{n} \\ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { fällt monoton } &amp; : \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}: a_{n+1} \leq a_{n}\end{array} <br />\]</p>



<p>„Eine Folge hat einen Grenzwert $ a $, wenn ihre Folgenglieder beliebig nahe an $ a $ gehen."</p>



<p>„Eine Folge hat einen Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1186-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1186-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, wenn ihre Folgenglieder beliebig nahe an <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1187-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1187-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gehen."</p>



<p>Eine Folge hat einen Grenzwert $ a $, wenn es für jede $ \epsilon $-Umgebung von $ a $, also $ ] a-\epsilon, a+\epsilon[ $, ein Folgenglied gibt, ab dem alle folgenden Folgenglieder Elemente der Umgebung sind.</p>



<p>Eine Folge hat einen Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1188-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1188-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, wenn es für jede <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \epsilon " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1189-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-1189-TEX-I-1D716"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Umgebung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1190-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1190-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" ] a-\epsilon, a+\epsilon[ " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.026ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5315.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1191-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path id="MJX-1191-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1191-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1191-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path><path id="MJX-1191-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1191-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1191-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="5D" xlink:href="#MJX-1191-TEX-N-5D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1191-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1029.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1191-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2029.4,0)"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-1191-TEX-I-1D716"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2435.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1191-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2880.1,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1191-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3631.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1191-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4631.6,0)"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-1191-TEX-I-1D716"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5037.6,0)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-1191-TEX-N-5B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, ein Folgenglied gibt, ab dem alle folgenden Folgenglieder Elemente der Umgebung sind.</p>



<p>Eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ hat einen Grenzwert $ a $, wenn es zu jedem $ \epsilon &gt; 0 $ ein Folgenglied $ a_{N} $ gibt, ab dem für alle folgenden Folgenglieder $ a_{n} $ die Ungleichung $ \left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon $ erfüllt ist.</p>



<p>Eine Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1192-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1192-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1192-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1192-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 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transform="translate(683.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJX-1194-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1739.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1194-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein Folgenglied <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{N} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.805ex" height="1.337ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1239.9 591" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1195-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 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transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-1195-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gibt, ab dem für alle folgenden Folgenglieder <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1036.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1196-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1196-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1196-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1196-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> die Ungleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left|a_{n}-a\right| < \epsilon " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.501ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 5083.3 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1197-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1197-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1197-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1197-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1197-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-1197-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1197-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1197-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1197-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1536.5,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1197-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2536.7,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1197-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3065.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1197-TEX-N-7C"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3621.5,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-1197-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4677.3,0)"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-1197-TEX-I-1D716"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erfüllt ist.</p>



<p>Eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ hat einen Grenzwert $ a $, wenn es zu jedem $ \epsilon &gt; 0 $ eine natürliche Zahl $ N $ gibt, so dass $ \left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon $ für alle $ n \geq N $ ist.</p>



<p>Eine Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1198-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1198-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 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class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \geq N " style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.384ex" height="1.857ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2821.6 821" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1203-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1203-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 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data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-1203-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-1203-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist.</p>



<p><strong>Eindeutigkeit des Grenzwerts</strong></p>
<p>Jede konvergente Folge besitzt nur einen einzigen Grenzwert.</p>



<p><strong>Eindeutigkeit des Grenzwerts</strong></p>
<p>Dieser Satz macht Ausdrücke wie $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} $ erst sinnvoll. Stell dir vor, es gäbe eine Folge $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ mit mehr als einem Grenzwert. Dann könntest du dem Ausdruck $ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} $ keine eindeutige Zahl zuordnen, weil du nicht weißt, welchen der Grenzwerte $ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} $ bezeichnen soll. Weil nun aber $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ maximal einen Grenzwert besitzt, ist stets klar, dass lim $ _{n \rightarrow \infty} b_{n} $ diesen eindeutigen Grenzwert bezeichnen soll (unter der Voraussetzung natürlich, dass $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ konvergiert). Dank des obigen Satzes kann man von „dem Grenzwert" und nicht nur von „einem Grenzwert" sprechen.</p>



<p><strong>Eindeutigkeit des Grenzwerts</strong></p>
<p>Den Satz werden wir indirekt über einen Widerspruchsbeweis zeigen. Hierzu gehen wir davon aus, dass es eine konvergente Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ mit zwei verschiedenen Grenzwerten gibt. Diese Annahme müssen wir nun zum Widerspruch führen.</p>
<p>Nennen wir die beiden Grenzwerte $ a $ und $ b $. Um den Widerspruch zu finden, können wir folgende Methode verwenden: Wir können versuchen, den Gegensatz von dem, was wir eigentlich zeigen wollen, zu beweisen. Dieser Versuch ist natürlich zum Scheitern verurteilt. Wenn wir aber verstehen, warum der Versuch scheitert, dann gibt uns das Hinweise, wie wir den eigentlichen Beweis zu führen haben. Versuchen wir also zu beweisen, dass es eine Folge mit zwei verschiedenen Grenzwerten gibt.</p>
<p>Nimm also ein Blatt Papier und zeichne eine Zahlengerade ein. Markiere nun zwei verschiedene Zahlen auf der Zahlengerade, die unsere zwei Grenzwerte $ a $ und $ b $ darstellen sollen. Versuche nun eine reelle Folge auf der Zahlengeraden zu finden, die gleichzeitig gegen beide Zahlen konvergiert (Denk daran, dass deine Zahlenfolge ab einem bestimmten Folgenglied in jeder noch so kleinen Umgebung um $ a $ beziehungsweise um $ b $ sein muss). Für Umgebungen von $ a $ und $ b $, welche sich nicht überlappen, ist es unmöglich, dass sich dort fast alle Folgenglieder befinden. Die folgende Zeichnung verdeutlicht das Problem.</p>
<figure class="image"><a title="on File:Epsilon Umgebung.svg: *File:Konvergenz.svg: Matthias Vogelgesang (Youthenergy) / *abgeleitetes Werk Stephan Kulla (User:Stephan Kulla) - File:Epsilon Umgebung.svg, CC BY-SA 3.0" href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Konvergenz_und_Divergenz#/media/Datei:2_Zahlen_mit_Epsilon_Umgebung.svg" target="_blank" rel="nofollow noopener"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61cb1ccbc9984c7fda600c45.svg" alt="new alt text" width="699" height="70" /></a>
<figcaption>Zahlengerade mit zwei Zahlen und disjunkten ε-Umgebungen</figcaption>
</figure>
<p>Wenn man also $ \epsilon $ so klein wählt, dass sich $ ] a-\epsilon, a+\epsilon[ $ und $ ] b-\epsilon, b+\epsilon[ $ nicht überschneiden, dann sollte sich ein Widerspruch ergeben. Wir wählen $ \epsilon= $ $ \frac{|a-b|}{3} $. Wir wissen, dass es ein $ a_{n} $ geben muss, welches sowohl in $ ] a-\epsilon, a+\epsilon[ $ als auch $ ] b-\epsilon, b+\epsilon\left[\right. $ liegt. Ein solches $ a_{n} $ kann es aber nicht geben, weil sich die beiden Umgebungen für $ \epsilon=\frac{|a-b|}{3} $ nicht überschneiden. Einen Widerspruch erhalten wir dann über die Dreiecksungleichung:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\begin{aligned}|a-b| &amp;=|a+\overbrace{\left(-a_{n}+a_{n}\right)}^{=0}-b| \\\\ &amp;=\left|\left(a-a_{n}\right)+\left(a_{n}-b\right)\right| \\\\ &amp; \downarrow \text { Dreiecksungleichung } \\\\ &amp; \leq\left|a-a_{n}\right|+\left|a_{n}-b\right| \\\\ &amp; &lt; \frac{|a-b|}{3}+\frac{|a-b|}{3} \\\\ &amp;=\frac{2 \cdot|a-b|}{3} \end{aligned} <br />\]</p>
<p>Nach Kürzung beider Seiten mit $ |a-b| $ haben wir den Widerspruch $ 1 &lt; \frac{2}{3} $.</p>



<p>Eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ ist unbeschränkt, wenn es für alle $ S \geq 0 $ unendlich viele Folgenglieder $ a_{n} $ mit $ \left|a_{n}\right| \geq S $ gibt.</p>



<p>Eine Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1333-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1333-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 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xlink:href="#MJX-1336-TEX-N-7C"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1870,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-1336-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2925.8,0)"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-1336-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gibt.</p>



<p><strong>Unbeschränkte Folgen divergieren</strong><br />Mit diesem Satz können wir beweisen, dass eine Folge divergiert. Wenn wir nachweisen können, dass eine Folge unbeschränkt ist, wissen wir also sofort. dass sie divergiert.</p>



<p><strong>Unbeschränkte Folgen divergieren</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine unbeschränkte Folge. Für alle $ S \geq 0 $ gibt es also unendlich viele Folgenglieder $ a_{n} $ mit $ \left|a_{n}\right| \geq S . $ Dann muss die Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ divergieren.</p>



<p><strong>Unbeschränkte Folgen divergieren</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1337-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1337-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1337-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1337-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1337-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1337-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1337-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1337-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1337-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1337-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1337-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1337-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1337-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine unbeschränkte Folge. Für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" S \geq 0 " style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.608ex" height="1.907ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 2478.6 843" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1338-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-1338-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-1338-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-1338-TEX-I-1D446"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(922.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-1338-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1978.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1338-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gibt es also unendlich viele Folgenglieder <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.344ex" height="1.355ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 1036.3 598.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1339-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1339-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1339-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1339-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left|a_{n}\right| \geq S . " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.708ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 3848.8 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1340-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1340-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1340-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 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<p><strong>Unbeschränkte Folgen divergieren</strong><br />Genau wie in der obigen Beweisskizze nehmen wir eine beliebige Zahl $ a $ und zeigen, dass die unbeschränkte Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ nicht gegen $ a $ konvergieren kann. Dafür müssen wir zeigen, dass $ \left|a_{n}-a\right| $ für unendlich viele $ n \in \mathbb{N} $ größer als eine fixe Zahl $ \epsilon &gt; 0 $ ist. Wir müssen also $ \left|a_{n}-a\right| $ nach unten abschätzen. Benutzen wir hierzu die umgekehrte Dreiecksungleichung:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\left|a_{n}-a\right| \geq \| a_{n}|-| a||<br />\]</p>
<p>Wir wissen, dass unendlich viele $ \left|a_{n}\right| $ größer sind als jede fixe Schranke $ S \geq 0 $, da $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ unbeschränkt ist. Wählen wir $ S=|a|+1 . $ Jetzt können wir wie in der Beweisskizze oben mit $ \left(2^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ zeigen:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\begin{aligned}<br />\left|a_{n}-a\right| &amp; \geq|| a_{n}|-| a|| \\\\<br />&amp; \textcolor{green}{\downarrow\left|a_{n}\right| \geq|a|+1 \geq|a| }\\\\<br />&amp; \geq\left|a_{n}\right|-|a| \\\\<br />&amp;  \textcolor{green}{\downarrow\left|a_{n}\right| \geq|a|+1} \\\\<br />&amp; \geq(|a|+1)-|a|=1<br />\end{aligned}<br />\]</p>
<p>Aus $ \left|a_{n}-a\right| \geq 1 $ folgt, dass $ a_{n} $ nicht in der $ \epsilon $-Umgebung $ (a-1 ;\  a+1) $ liegen kann. Damit kann aber $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ nicht gegen $ a $ konvergieren, was wir hier zeigen müssen.</p>



<p><strong>konvergente Folgen sind beschränkt</strong><br />Jede konvergente Folge ist beschränkt. Wenn also eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ konvergiert, dann gibt es ein $ S \geq 0 $ mit $ \left|a_{n}\right| \leq S $ für alle $ n \in \mathbb{N} $.</p>



<p><strong>konvergente Folgen sind beschränkt</strong><br />Jede konvergente Folge ist beschränkt. Wenn also eine Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1362-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1362-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 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34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1365-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1365-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1365-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>



<p>Die Umkehrung des Satzes muss nicht gelten. Das bedeutet: Eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren. Eine divergente Folge muss nicht unbeschränkt sein.</p>
<p>Ein Gegenbeispiel ist die Folge $ \left((-1)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $. Diese Folge ist beschränkt, jedoch nicht konvergent.</p>



<p>Die Umkehrung des Satzes muss nicht gelten. Das bedeutet: Eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren. Eine divergente Folge muss nicht unbeschränkt sein.</p>
<p>Ein Gegenbeispiel ist die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left((-1)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.929ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4830.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1366-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1366-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1366-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1366-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1366-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1366-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1366-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(778,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1556,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2056,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1366-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2952.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(3374.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1366-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1366-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1366-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Diese Folge ist beschränkt, jedoch nicht konvergent.</p>



<p><strong>Warnung</strong></p>
<p>Diese Regeln gelten nur, wenn alle Teilfolgen, die in den Grenzwertregeln vorkommen, konvergieren. Wenn auch nur eine dieser Folgen divergiert, können wir den Satz nicht anwenden.</p>
<p>Wir müssen außerdem beachten, dass $ \infty $ und $ -\infty $ keine reellen Zahlen sind und damit auch keine gültigen Grenzwerte. Wenn also beispielsweise $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty $ ist, dann divergiert $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ und wir können keinen der Grenzwertsätze anwenden.</p>



<p><strong>Warnung</strong></p>
<p>Diese Regeln gelten nur, wenn alle Teilfolgen, die in den Grenzwertregeln vorkommen, konvergieren. Wenn auch nur eine dieser Folgen divergiert, können wir den Satz nicht anwenden.</p>
<p>Wir müssen außerdem beachten, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \infty " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1000 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1676-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-1676-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" -\infty " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.023ex" height="1.505ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 1778 665" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1677-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1677-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1677-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-1677-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> keine reellen Zahlen sind und damit auch keine gültigen Grenzwerte. Wenn also beispielsweise <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.491ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 6847 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1678-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1678-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 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121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1679-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1679-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1679-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1679-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1679-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1679-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1679-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und wir können keinen der Grenzwertsätze anwenden.</p>



<p><strong>Grenzwertsätze</strong><br />Seien $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ und $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ zwei konvergente Folgen mit $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a $ und $ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b $. Sei außerdem $ k \in \mathbb{N} $ beliebig. Es gilt</p>
<ul>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=|a| $</li>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+b_{n}=a+b $</li>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} \lambda \cdot a_{n}=\lambda \cdot a $ für alle $ \lambda \in \mathbb{R} $</li>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot b_{n}=a \cdot b $</li>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{k}=a^{k} $</li>
</ul>
<p>Wenn außerdem $ b \neq 0 $ und $ b_{n} \neq 0 $ für alle $ n \in \mathbb{N} $ ist, dann gilt auch</p>
<ul>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{b} $</li>
<li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b} $</li>
</ul>
<p>Für $ k \in \mathbb{N} $ und $ a_{n} \geq 0 $ für alle $ n \in \mathbb{N} $ gilt:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[k]{a_{n}}=\sqrt[k]{a}<br />\]</p>



<p><strong>Grenzwertregel mit Absolutbetrag</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert $ a $. Dann ist $ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|= $ $ |a| $.</p>



<p><strong>Grenzwertregel mit Absolutbetrag</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1685-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1685-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 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-250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1685-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1685-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 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Dann ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|= " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.858ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 6125.2 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1687-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1687-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 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data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1422,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1687-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-1687-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1600,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-1687-TEX-N-221E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3477.1,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1687-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1687-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1687-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1314.3,0) translate(0 -0.5)"><use 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30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1688-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1688-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(807,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1688-TEX-N-7C"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>



<p><strong>Grenzwertsatz für Summen</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ a $ und $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ b $. Dann konvergiert auch die Folge $ \left(a_{n}+\right. $ $ \left.b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ mit $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}+b_{n}=a+b $.</p>



<p><strong>Faktorregel für Grenzwerte</strong><br />Sei $ \lambda \in \mathbb{R} $ beliebig und $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ a $.</p>
<p>Dann konvergiert auch die Folge $ \left(\lambda a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text{ mit } \lim_{n \rightarrow \infty} \lambda a_{n}=\lambda a $.</p>



<p><strong>Faktorregel für Grenzwerte</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \lambda \in \mathbb{R} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.718ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2527.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1696-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-1696-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1696-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 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data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1697-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1697-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1697-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1697-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1697-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1697-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1697-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine konvergente Folge mit Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1698-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1698-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
<p>Dann konvergiert auch die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(\lambda a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text{ mit } \lim_{n \rightarrow \infty} \lambda a_{n}=\lambda a " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.759ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 13595.3 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1699-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1699-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 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<p><strong>Produktregel für Grenzwerte</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ a $ und $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ b $.</p>
<p>Dann konvergiert auch die Folge $ \left(a_{n}\right. $. $ \left.b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ mit $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot b_{n}=a \cdot b $.</p>



<p><strong>Quotientenregel für Grenzwerte</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ a $ und sei $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine konvergente Folge mit Grenzwert $ b \neq 0 $ sowie $ b_{n} \neq 0 $ für alle $ n \in \mathbb{N} $. Dann konvergiert die Folge $ \left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ mit $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b} $.</p>



<p><strong>Monotonieregel für Grenzwerte</strong><br />Seien $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ und $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ Folgen mit Grenzwerten $ a $ und $ b $. Es gelte auBerdem $ a_{n} \leq b_{n} $ für fast alle $ n \in \mathbb{N} $. Dann gilt $ a \leq b $.</p>



<p><strong>Monotonieregel für Grenzwerte</strong><br />Seien <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1715-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1715-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 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Es gelte auBerdem <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n} \leq b_{n} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.48ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3306.1 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1719-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1719-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 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Dann gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a \leq b " style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.185ex" height="1.882ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2291.6 832" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1721-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1721-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-1721-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1721-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-1721-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1862.6,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1721-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>



<p><strong>Konvergenz:</strong></p>
<p>Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Man sagt auch, dass eine Folge gegen a konvergiert, wenn sie den Grenzwert $ a $ besitzt.</p>



<p><strong>Konvergenz:</strong></p>
<p>Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Man sagt auch, dass eine Folge gegen a konvergiert, wenn sie den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1214-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1214-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt.</p>



<p><strong>Divergenz: </strong></p>
<p>Eine Folge nennt man divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt.</p>



<p><strong>Nullfolge:</strong></p>
<p>Eine Nullfolge ist eine konvergente Folge mit dem Grenzwert $ 0 . $</p>



<p><strong>Nullfolge:</strong></p>
<p>Eine Nullfolge ist eine konvergente Folge mit dem Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 0 . " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 778 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1215-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1215-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1215-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-1215-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<p><strong>Grenzwert</strong><br />Eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ besitzt einen Grenzwert $ a $, wenn es zu jedem $ \epsilon &gt; 0 $ einen Folgenindex $ N \in \mathbb{N} $ gibt, so dass für alle Folgenglieder $ a_{n} $ mit $ n \geq N $ die Ungleichung $ \left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon $ erfüllt ist. Es ist also genau dann $ a $ ein Grenzwert von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, wenn gilt:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\forall \epsilon &gt; 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N:\left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon<br />\]</p>



<p>Für den Betrag gilt $ |-x|=|x| $. Dementsprechend ist</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\left|a_{n}-a\right|=\left|-\left(a-a_{n}\right)\right|=\left|a-a_{n}\right|<br />\]</p>
<p>Es ist also egal, ob wir $ \left|a_{n}-a\right| $ oder $ \left|a-a_{n}\right| $ in der Definition verwenden.</p>



<p>Für den Betrag gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" |-x|=|x| " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.887ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 4812 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1216-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1216-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1216-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1216-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1216-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1216-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1500.4,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1216-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2072.4,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1216-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2628.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1216-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3684,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1216-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3962,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1216-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4534,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1216-TEX-N-7C"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Dementsprechend ist</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\left|a_{n}-a\right|=\left|-\left(a-a_{n}\right)\right|=\left|a-a_{n}\right|
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.626ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 14420.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1217-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1217-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1217-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1217-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1217-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1217-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1217-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1217-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1217-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" 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<p>Es ist also egal, ob wir <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left|a_{n}-a\right| " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.565ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 3343.7 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1218-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1218-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 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data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1218-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1218-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1536.5,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1218-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2536.7,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1218-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3065.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1218-TEX-N-7C"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> oder <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left|a-a_{n}\right| " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.565ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 3343.7 999" 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369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1219-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1219-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1029.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1219-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2029.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1219-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1219-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3065.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1219-TEX-N-7C"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> in der Definition verwenden.</p>



<p><strong>Warnung</strong></p>
<p>Im Studium begegnet man hin und wieder der Fehlvorstellung „Eine Folge divergiert genau dann, wenn sie unbeschränkt ist.“ Diese Aussage ist falsch!</p>
<p>Der intuitive Denkfehler dahinter ist wahrscheinlich oft der voreilige Schluss: „Das Gegenteil von $ \forall \epsilon &gt; 0 \ldots\left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon $ ist $ \forall \epsilon &gt; 0 \ldots\left|a_{n}-a\right| \geq \epsilon $, also muss $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ beliebig groß werden.“ Dies entspricht aber nicht der hergeleiteten Definition für Divergenz von oben!</p>
<p>Zwar ist jede unbeschränkte Folge divergent (siehe hierzu das Kapitel Unbeschränkte Folgen divergieren), aber nicht jede divergente Folge muss zwangsläufig unbeschränkt sein. Ein Beispiel hierfür ist die Folge $ \left((-1)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}= $ $ (-1,1,-1,1,-1,1, \ldots) $, welche beschränkt und divergent ist.</p>



<p>Aus der Definition der Konvergenz folgt unmittelbar, dass $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ genau dann gegen $ a $ konvergiert, wenn $ \left(\left|a_{n}-a\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine Nullfolge ist. Wenn nämlich $ \left(\left|a_{n}-a\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} $ gegen 0 konvergiert, dann ist per Definition</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\forall \epsilon &gt; 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N:\left\|a_{n}-a|-0|=\right\| a_{n}-a \|=\left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon<br />\]</p>
<p>Dies entspricht aber der Definition dafür, dass $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ gegen $ a $ konvergiert. Konvergiert umgekehrt $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ gegen $ a $, so gilt per Definition</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\forall \epsilon &gt; 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N:\left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon<br />\]</p>
<p>Somit gilt auch $ \left\|a_{n}-a|-0|=\right\| a_{n}-a \|=\left|a_{n}-a\right| &lt; \epsilon $ mit gleichen Quantoren und gleicher Variablendeklaration, also konvergiert $ \left(\mid a_{n}-\right. $ $ a \mid)_{n \in \mathbb{N}} $ gegen 0</p>



<p><strong>Monotonieregel</strong><br />Seien $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ und $ \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ zwei konvergente Folgen. Wenn $ a_{n} \leq b_{n} $ für fast alle $ n \in \mathbb{N} $ ist, dann gilt die Ungleichung:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}<br />\]</p>


Merke dir: „streng monoton“ bedeutet so viel, wie „immer größer“oder „immer kleiner“ werdend. Demgegenüber bedeutet „monoton“, ohne das „streng", so viel wie „immer größer werdend oder konstant bleibend" bzw. „immer kleiner werdend oder konstant bleibend".


<p><strong>obere Schranke:</strong> Eine obere Schranke ist eine Zahl, die größer als jedes Folgenglied einer Folge ist. $ S $ ist eine obere Schranke von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, wenn $ a_{n} \leq S $ für alle $ n \in \mathbb{N} $ ist.</p>
<p><strong>nach oben beschränkte Folge:</strong> Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn sie irgendeine obere Schranke besitzt.</p>
<p><strong>untere Schranke:</strong> Eine untere Schranke ist eine Zahl, die kleiner als jedes Folgenglied einer Folge ist. $ s $ ist eine untere Schranke von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, wenn $ a_{n} \geq s $ für alle $ n \in \mathbb{N} $ ist.</p>
<p><strong>nach unten beschränkte Folge:</strong> Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn sie irgendeine untere Schranke besitzt.</p>
<p><strong>beschränkte Folge:</strong> Eine Folge ist beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.</p>



<p><strong>Monotoniekriterium für Folgen</strong><br />Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.</p>



<p><strong>Monotoniekriterium für Folgen</strong><br />Diesen Satz kannst du folgendermaßen nachvollziehen: Versuche, auf der Zahlengerade eine divergente, monotone und beschränkte Folge einzuzeichnen. Zur Erinnerung: Eine Folge ist monoton, wenn entweder immer $ a_{n+1} \geq a_{n} $ oder immer $ a_{n+1} \leq a_{n} $ gilt. Du wirst schnell merken, dass dies nicht möglich ist. Es macht also Sinn, dass dieser Satz gilt. </p>



<p><strong>Monotoniekriterium für Folgen</strong><br />Diesen Satz kannst du folgendermaßen nachvollziehen: Versuche, auf der Zahlengerade eine divergente, monotone und beschränkte Folge einzuzeichnen. Zur Erinnerung: Eine Folge ist monoton, wenn entweder immer <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n+1} \geq a_{n} " style="vertical-align: -0.471ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.751ex" height="1.909ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -636 4309.8 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1773-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1773-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 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data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1774-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1774-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1774-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1774-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2217.7,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-1774-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3273.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1774-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1774-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt. Du wirst schnell merken, dass dies nicht möglich ist. Es macht also Sinn, dass dieser Satz gilt. </p>



<p><strong>Teilfolge</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine beliebige Folge. Jede Folge $ \left(a_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ heißt Teilfolge von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, wenn $ \left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen ist.</p>



<p><strong>Teilfolge</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-32-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-32-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-32-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-32-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-32-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine beliebige Folge. Jede Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.736ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.07ex" height="2.433ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3567 1075.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-33-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-33-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1744.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(2166.5,-296.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" 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d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-34-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 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279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1440.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1862.4,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1188,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-35-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen ist.</p>



<p>Jede Folge ist eine Teilfolge von sich selbst. Wenn man nämlich $ n_{k}=k $ wählt, dann ist $ \left(a_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}}=\left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $. Für $ n_{k}=k $ ist also die Teilfolge $ \left(a_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ mit der ursprünglichen Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ identisch. Das zeigt, dass jede Folge eine Teilfolge von sich selbst ist.</p>



<p><strong>Konvergenz von Teilfolgen</strong><br />Sei $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine Folge. $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein.</p>



<p><strong>Konvergenz von Teilfolgen</strong><br />Sei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-41-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-41-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-41-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-41-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-41-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-41-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 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xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-41-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-41-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> eine Folge. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-42-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-42-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-42-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-42-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-42-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-42-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-42-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein.</p>



<p><strong>Divergenz bei Divergenz einer Teilfolge</strong><br />Wenn eine Teilfolge divergiert, muss auch die ursprüngliche Folge divergieren.</p>



<p><strong>Folge</strong><br />Eine Folge in einer Menge $ M $ ist eine Abbildung</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />f: \mathbb{N} \rightarrow M: n \mapsto f(n)=: a_{n}<br />\]</p>
<p>Wir schreiben $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ anstelle von $ f $.</p>



<p><strong>Folge</strong><br />Eine Folge in einer Menge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" M " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.378ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1051 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-96-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-96-TEX-I-1D440"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist eine Abbildung</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
f: \mathbb{N} \rightarrow M: n \mapsto f(n)=: a_{n}
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.776ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 12277 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-97-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 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231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-97-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 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<p>Wir schreiben <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-98-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-98-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 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648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-98-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-98-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-98-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> anstelle von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-99-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 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<p>Eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ ist eine unendliche Abfolge von Objekten:</p>
<p style="padding-left: 40px;">$<br />\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(a_{1},\  a_{2},\ a_{3},\ a_{4}, \ldots\right)<br />$</p>



<p>Eine Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-94-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-94-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-94-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-94-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-94-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-94-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-94-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-94-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-94-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-94-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-94-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-94-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-94-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ist eine unendliche Abfolge von Objekten:</p>
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\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}=\left(a_{1},\  a_{2},\ a_{3},\ a_{4}, \ldots\right)
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data-mml-node="mo" transform="translate(6335.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-95-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6779.9,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-95-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7951.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-95-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<p>Häufungspunkte sind Werte, gegen die ein Teil einer Folge strebt.</p>



<p><strong>Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt</strong><br />Bei konvergenten Folgen ist der Grenzwert der Folge auch ein Häufungspunkt.</p>



<p>Jede Folge mit mehr als einem oder mit keinem Häufungspunkt divergiert.</p>



<p><strong>Umgebungsdefinition des Häufungspunkts</strong><br />Eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ besitzt den Häufungspunkt $ h \in \mathbb{R} $, wenn sich in jeder Umgebung von $ h $ unendlich viele Folgenglieder von $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ befinden. Für alle $ \epsilon &gt; 0 $ muss es also unendlich viele Indizes $ n \in \mathbb{N} $ mit $ \left|a_{n}-h\right| &lt; \epsilon $ geben.</p>



<table style="border-collapse: collapse; width: 100.045%;" border="1">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Grenzwert</strong></td>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Häufungspunkt</strong></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Jede</strong> Teilfolge konvergiert gegen den Grenzwert.</td>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Mindestens eine </strong>Teilfolge konvergiert gegen den Häufungspunkt.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;">In jeder $\epsilon$-Umgebung liegen <strong>fast alle</strong> Folgenglieder.</td>
<td style="width: 47.5417%;">In jeder $\epsilon$-Umgebung liegen <strong>unendlich viele </strong>Folgenglieder.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;">Eine Folge hat <strong>höchstens einen </strong>Grenzwert.</td>
<td style="width: 47.5417%;">Es kann <strong>beliebig viele </strong>Häufungspunkte geben.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;">Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt.</td>
<td style="width: 47.5417%;">Es gibt Häufungspunkte, die keine Grenzwerte sind.</td>
</tr>
</tbody>
</table>



<table style="border-collapse: collapse; width: 100.045%;" border="1">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Grenzwert</strong></td>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Häufungspunkt</strong></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Jede</strong> Teilfolge konvergiert gegen den Grenzwert.</td>
<td style="width: 47.5417%;"><strong>Mindestens eine </strong>Teilfolge konvergiert gegen den Häufungspunkt.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;">In jeder <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\epsilon" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-51-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-51-TEX-I-1D716"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Umgebung liegen <strong>fast alle</strong> Folgenglieder.</td>
<td style="width: 47.5417%;">In jeder <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\epsilon" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-52-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-52-TEX-I-1D716"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Umgebung liegen <strong>unendlich viele </strong>Folgenglieder.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;">Eine Folge hat <strong>höchstens einen </strong>Grenzwert.</td>
<td style="width: 47.5417%;">Es kann <strong>beliebig viele </strong>Häufungspunkte geben.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5417%;">Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt.</td>
<td style="width: 47.5417%;">Es gibt Häufungspunkte, die keine Grenzwerte sind.</td>
</tr>
</tbody>
</table>



<p><strong>Häufungspunkt einer Folge</strong><br />Eine Zahl $ a $ ist Häufungspunkt einer Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $, wenn es eine Teilfolge $ \left(a_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ der Folge $ \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ gibt, die gegen diese Zahl $ a $ konvergiert.</p>



<p><strong>Häufungspunkt einer Folge</strong><br />Eine Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-39-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist Häufungspunkt einer Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-40-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 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xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(633,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1744.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-41-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(2166.5,-296.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-41-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-41-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1188,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-41-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> der Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-42-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-42-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-42-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-42-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-42-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gibt, die gegen diese Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-43-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-43-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert.</p>



<p><strong>Satz von Bolzano-Weierstraß</strong><br />Jede beschränkte Folge $ \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ von reellen Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Es gibt also eine reelle Zahl $ x $, so dass mindestens eine Teilfolge $ \left(x_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} $ von $ \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ gegen $ x $ konvergiert.</p>



<p><strong>Satz von Bolzano-Weierstraß</strong><br />Jede beschränkte Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.572ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3346.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-67-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-67-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-67-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-67-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-67-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1468.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1890.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-67-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-67-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-67-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> von reellen Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Es gibt also eine reelle Zahl <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-68-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-68-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, so dass mindestens eine Teilfolge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(x_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} " style="vertical-align: -0.736ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.167ex" height="2.433ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3610 1075.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-69-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-69-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 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278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-70-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-70-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-70-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-70-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-70-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-70-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1468.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-70-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1890.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-70-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-70-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-70-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-71-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-71-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> konvergiert.</p>



<p>In der Literatur wird manchmal der Satz von Bolzano-Weierstraß in der Form „Jede reelle beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge“ formuliert. Der Satz „Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Häufungspunkt" wird dann als Satz vom Häufungspunkt bezeichnet.</p>



<table style="border-collapse: collapse; width: 99.8762%;" border="1">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;"><strong>Konvergenz</strong></td>
<td style="width: 47.5334%;"><strong>Bestimmte Divergenz</strong></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;">In jeder $\epsilon$-Umgebung liegen fast alle Folgenglieder.</td>
<td style="width: 47.5334%;">In jedem Intervall $[S, \infty)$ liegen fast alle Folgenglieder.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;">Alle Teilfolgen konvergieren gegen denselben Grenzwert.</td>
<td style="width: 47.5334%;">Auch alle Teilfolgen divergieren bestimmt gegen $\pm \infty$.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;">Jede konvergente Folge ist beschränkt.</td>
<td style="width: 47.5334%;">Jede bestimmt divergente Folge is unbeschränkt.</td>
</tr>
</tbody>
</table>



<table style="border-collapse: collapse; width: 99.8762%;" border="1">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;"><strong>Konvergenz</strong></td>
<td style="width: 47.5334%;"><strong>Bestimmte Divergenz</strong></td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;">In jeder <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\epsilon" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-95-TEX-I-1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D716" xlink:href="#MJX-95-TEX-I-1D716"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Umgebung liegen fast alle Folgenglieder.</td>
<td style="width: 47.5334%;">In jedem Intervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="[S, \infty)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.237ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2756.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-96-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-96-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-96-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-96-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-96-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-96-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-96-TEX-I-1D446"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(923,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-96-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1367.7,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-96-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2367.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-96-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> liegen fast alle Folgenglieder.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;">Alle Teilfolgen konvergieren gegen denselben Grenzwert.</td>
<td style="width: 47.5334%;">Auch alle Teilfolgen divergieren bestimmt gegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\pm \infty" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.023ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1778 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-97-TEX-N-B1" d="M56 320T56 333T70 353H369V502Q369 651 371 655Q376 666 388 666Q402 666 405 654T409 596V500V353H707Q722 345 722 333Q722 320 707 313H409V40H707Q722 32 722 20T707 0H70Q56 7 56 20T70 40H369V313H70Q56 320 56 333Z"></path><path id="MJX-97-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="B1" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-B1"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-97-TEX-N-221E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 47.5334%;">Jede konvergente Folge ist beschränkt.</td>
<td style="width: 47.5334%;">Jede bestimmt divergente Folge is unbeschränkt.</td>
</tr>
</tbody>
</table>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: