Unbeschränkte Folgen divergieren
Genau wie in der obigen Beweisskizze nehmen wir eine beliebige Zahl und zeigen, dass die unbeschränkte Folge nicht gegen konvergieren kann. Dafür müssen wir zeigen, dass für unendlich viele größer als eine fixe Zahl ist. Wir müssen also nach unten abschätzen. Benutzen wir hierzu die umgekehrte Dreiecksungleichung:

Wir wissen, dass unendlich viele größer sind als jede fixe Schranke , da unbeschränkt ist. Wählen wir Jetzt können wir wie in der Beweisskizze oben mit zeigen:

Aus folgt, dass nicht in der -Umgebung liegen kann. Damit kann aber nicht gegen konvergieren, was wir hier zeigen müssen.

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: