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Aufgabenstellung:

Zeige, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert und berechne den Grenzwert .

Lösungsweg:

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Berechne den Grenzwert :

Als Grenzwert kommt also in Frage.

Weise die Beschränktheit der Folge nach.

Zeige für alle mittels vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gelte für ein

Induktionsschluss:

Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Die Folge ist nach unten durch beschränkt.

Zeige, dass die Folge monoton fällt:

Zeige bzw.

Da ist die Ungleichung erfüllt und die Folge monoton fallend.

Leite ein abschließendes Ergebnis aus deinen Berechnungen ab:

Lösung:

Die Folge ist monoton fallend, beschränkt und konvergiert mit dem Grenzwert: