Quotientenkriterium

Das Quotientenkriterium erlaubt Konvergenz- und Divergenzbeweise bei vielen konkret gegebenen Reihen und wird deswegen häufig eingesetzt. Es ist zwar bei weniger Reihen einsetzbar als das Wurzelkriterium, jedoch sind Beweise mit dem Quotientenkriterium in der Regel einfacher zu führen als solche mit dem Wurzelkriterium.

Herleitung

Erste Schritte

Genau wie beim Wurzelkriterium wird beim Quotientenkriterium die Konvergenz einer Reihe über das Majorantenkriterium auf die Konvergenz einer geometrischen Reihe zurückgeführt. Sei also eine gegebene Reihe mit für alle . Die Forderung, dass die Reihe nur nichtnegative Summanden besitzt, brauchen wir für das Majorantenkriterium. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert, wenn es ein mit für alle gibt. Dies folgt aus dem Majorantenkriterium und der Tatsache, dass die geometrische Reihe für konvergiert.

Beim Wurzelkriterium wird die Ungleichung direkt zu umgeformt. Beim Quotientenkriterium wählt man ein rekursives Kriterium, das impliziert. Zunächst wissen wir, dass sein muss. Im Rekursionsschritt brauchen wir eine Bedingung, mit der man aus der Ungleichung die Ungleichung schließen kann. Gehen wir also davon aus, dass wir bereits bewiesen haben. Es gilt dann (wenn wir davon ausgehen, dass ist)

Um zu beweisen, genügt es aufgrund der obigen Umformung auch zu zeigen. Dies reduziert sich weiter zu der Ungleichung , welche wir zeigen müssen. Hierzu benötigen wir die Aussage , die wir im Folgenden annehmen. Aus der Bedingung können wir wiederum folgern, dass und damit auch ist. Nun haben wir eine Idee, was wir zu zeigen haben und welche Induktionsannahmen wir treffen werden.

Zusammenfassung der ersten Überlegungen

Aus und können wir zeigen, dass ist und die Reihe somit nach dem Majorantenkriterium konvergiert. Ein Beweis ist hier über vollständige Induktion möglich. Zunächst haben wir den Induktionsanfang direkt gegeben. Im Induktionsschritt gehen wir davon aus, dass wahr ist und können damit folgern

 

Erste Verbesserung

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht vom Wert von endich vielen Summanden ab. Das heißt, die Änderung endlich vieler Summanden beeinflusst die Konvergenz der Reihe nicht. Dementsprechend kann man vermuten, dass die Bedingung nicht benötigt wird. Wenn wir nur die Bedingung annehmen, dann erhalten wir

Insgesamt erhalten wir so . Dies reicht aus, um mit Hilfe des Majorantenkriteriums die Konvergenz zu zeigen, weil eine konvergente Reihe ist. Damit kann man allein aus für alle die Konvergenz der Reihe zeigen.

Zweite Verbesserung

Wir können weiter verallgemeinern, indem wir nur für fast alle anstatt für alle natürlichen Zahlen fordern. Sei die erste natürliche Zahl, ab der für alle gilt. Dann ist

Insgesamt erhalten wir so . Indem man setzt, folgt die Ungleichung und somit:

Damit konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium. Es reicht also, nur für fast alle zu fordern.

Umformulierung mit Limes superior

Die Bedingung, dass für ein festes mit und für fast alle ist, kann auch mit dem Limes superior ausgedrückt werden. Diese Bedingung gilt nämlich genau dann, wenn ist.

Einerseits folgt aus für fast alle , dass der größte Häufungspunkt, also der Limes superior, von kleiner als und damit kleiner als 1 ist.

Sei andererseits . Dann ist für alle die Ungleichung für fast alle erfüllt. Wegen kann ein so klein gewählt werden, dass ist. Setzen wir . Dann ist zum einen und zum anderen ist für fast alle .

Zusammenfassung: Aus folgt zunächst für ein , dass für fast alle ist. Daraus folgt die Konvergenz der Reihe .

Die Sache mit der absoluten Konvergenz

In der obigen Argumentation haben wir nur Reihen betrachtet, deren Summanden nichtnegativ sind. Was passiert mit Reihen , bei denen einige Summanden negativ sind?

Wir können obige Argumentation zumindest auf die Reihe anwenden. So können wir die absolute Konvergenz beweisen, die ja auch die normale Konvergenz der Reihe impliziert. Bei Reihen mit nichtnegativen Summanden ändert sich beim Übergang von auf nichts, da für solche Reihen die Gleichung für alle erfüllt ist. Wir können also zusammenfassen:

Quotientenkriterium für Divergenz

Lässt sich mit einer ähnlichen Argumentation auch die Divergenz einer Reihe beweisen? Schauen wir uns an. Wenn der Quotient im Betrag größer gleich eins ist, dann ist

Wenn also ab einem beliebigen Index für alle nachfolgenden Indizes die Ungleichung erfüllt ist, dann wächst die Folge ab dem Index monoton. Diese Folge kann keine Nullfolge sein, da sie nach dem Folgenglied monoton wächst und . Wenn aber keine Nullfolge ist, dann ist auch keine Nullfolge. Daraus folgt nach dem Trivialkriterium, dass die Reihe keine Nullfolge ist. Das Trivialkriterium besagt ja, dass wäre, wenn die Reihe konvergieren würde. Fassen wir zusammen:

Das Quotientenkriterium

Verschärfung mit Limes inferior

Die gerade behandelte Voraussetzung für die Divergenz lässt sich mit Hilfe des Limes inferior verschärfen. So ist das Kriterium leichter anzuwenden. Gilt , folgt daraus für fast alle . Also divergiert die Reihe. Die umgekehrte Richtung muss nicht gelten. Aus für fast alle muss nicht folgen, da die Folge nicht zwangsläufig einen kleinsten Häufungspunkt besitzt. Es handelt sich also um eine stärkere Voraussetzung für die Divergenz der Reihe.

Grenzen des Quotientenkriteriums

Bei können wir nichts über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe aussagen. Es gibt nämlich sowohl konvergente als auch divergente Reihen, die diese Bedingung erfüllen. Ein Beispiel hierfür ist die divergente Reihe :

Auch die konvergente Reihe erfüllt diese Gleichung:

Wir können also aus weder folgern, dass die Reihe konvergiert, noch, dass sie divergiert. Wir müssen in einem solchen Fall ein anderes Konvergenzkriterium verwenden.

Vorgehen bei der Anwendung des Quotientenkriteriums

Um das Quotientenkriterium auf eine Reihe anzuwenden, bilden wir zunächst und betrachten den Grenzwert:

Beispielaufgaben

Untersuche die Reihe auf Konvergenz oder Divergenz.

Zunächst bilden wir den Quotienten und betrachten dessen Grenzwert:

Damit ist , womit aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe absolut konvergiert.

Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium

Das Quotientenkriterium lässt sich bei einigen Reihen wesentlich leichter anwenden als das Wurzelkriterium. Ein Beispiel ist die Reihe , deren Konvergenz man mit dem Quotientenkriterium gut beweisen kann:

Im Wurzelkriterium muss man folgenden Grenzwert betrachten:

Hier ist unklar, ob und wogegen eine Konvergenz vorliegt. Dass schnell anwächst, könnte für eine Nullfolge sprechen. Allerdings wird die Folge durch das Ziehen der -ten Wurzel stark abgeschwächt. Tatsächlich lässt sich zeigen (und damit folgt ). Dieser Beweis ist jedoch sehr aufwändig. Ähnlich verhält es sich bei der Reihe . Mit dem Quotientenkriterium erhalten wir

Damit ist die Folge divergent nach dem Quotientenkriterium. Im Wurzelkriterium haben wir folgenden Grenzwert zu betrachten:

Man kann beweisen, dass diese Folge gegen konvergiert. Das ist jedoch aufwendig und erfordert zusätzliche Konvergenzkriterien, die oftmals in einer Analysis-Grundvorlesung nicht zur Verfügung stehen. In beiden Fällen ist die Lösung mit dem Quotientenkriterium einfacher.

Allerdings gibt es auch Reihen, die mit dem Wurzelkriterium lösbar sind und bei denen das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist. Ein Beispiel dafür ist die Reihe

Das Quotientenkriterium ist hier nicht anwendbar. Für die Quotientenfolge gilt nämlich

Damit ist limsup , da die Quotientenfolge für ungerade wegen nach oben unbeschränkt ist. Andererseits gilt für alle geraden und damit für unendlich viele Quotienten. Insgesamt müssen wir aber feststellen, dass das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist. Hingegen liefert das Wurzelkriterium

Damit ist und die Reihe konvergiert absolut. Damit ist im obigen Beispiel das Wurzelkriterium anwendbar, während das Quotientenkriterium kein Ergebnis ergibt. Insgesamt ist es so, dass das Wurzelkriterium einen größeren Anwendungsbereich als das Quotientenkriterium hat. Auf jede Reihe, deren Konvergenzverhalten mit dem Quotientenkriterium feststellbar ist, kann auch das Wurzelkriterium angewendet werden. Dies folgt aus folgender Ungleichung:

Hier wird offensichtlich: Ist , so ist automatisch Ist , ist automatisch 1. Ist also das Quotientenkriterium anwend bar, ist immer das Wurzelkriterium anwendbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie es das obige Beispiel zeigt. Wir verzichten hier auf den etwas theoretischen und langwierigen Beweis der Ungleichung. Fortgeschrittene können sich gerne an der entsprechenden Übungsaufgabe versuchen.