Wenn eine Funktion wiederum von einer Funktion abhängt, so spricht man von einer verketteten Funktion. Zum Ableiten solltest du in diesem Fall die Kettenregel verwenden.

Kettenregel

Funktionen, die aus einem Produkt zweier Teilfunktionen bestehen, kannst du mit der Produktregel ableiten.

Produktregel

Liegt eine gebrochenrationale Funktion vor, so wird die Quotientenregel zum Ableiten genutzt.

Quotientenregel

Hier lernst du, wie du unterschiedlichste Ableitungsregeln kombiniert anwendest. Das ist wichtig, da Funktionen oft aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sind.

Gemischte Regeln

Ableitungsregeln (Übersicht)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Die Ableitung lautet:
\begin{align*}
f^{\prime}(x)=\frac{4 x^{3}+5}{3 x^{2}}
\end{align*}

Die Ableitung lautet:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime}(x)=\frac{4 x^{3}+5}{3 x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.981ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.219ex" height="5.093ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1375.6 7169 2251.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4112-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4112-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 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Schreibe $f(x)$ zunächst zu einem Produkt um:

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transform="translate(3656, 0)"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-SO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5669.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6170, 0)"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6559, 0)"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7059, 0)"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(7631, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4109-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Wende die Quotientenregel und Kettenregel an und vereinfache:

\begin{align*}
f^{\prime}(x)&amp;=6 x^{2} \cdot(3 x)^{-1}+\left(2 x^{3}-5\right) \cdot(-1) \cdot(3 x)^{-2} \cdot 3
\end{align*}

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f^{\prime}(x)&=6 x^{2} \cdot(3 x)^{-1}+\left(2 x^{3}-5\right) \cdot(-1) \cdot(3 x)^{-2} \cdot 3
\end{align*}" style="vertical-align: -0.83ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="48.408ex" height="2.791ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -866.7 21396.1 1233.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4110-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4110-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 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data-mml-node="mn" transform="translate(15561.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(16061.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(16633.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(18198.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(18698.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-4110-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\begin{align*}
\phantom{f^{\prime}(x)} &amp;=\frac{6 x^{2}}{3 x}+\frac{\left(2 x^{3}-5\right) \cdot(-1) \cdot 3}{(3 x)^{2}}\\
&amp;=\frac{6 x^{2}}{3 x}+\frac{\left(2 x^{3}-5\right) \cdot(-1) \cdot 3}{3 \cdot 3 x^{2}}\\
&amp;=\frac{6 x^{2}}{3 x}+\frac{\left(2 x^{3}-5\right) \cdot(-1)}{3 x^{2}}\\
&amp;=\frac{6 x^{3}+\left(2 x^{3}-5\right) \cdot(-1)}{3 x^{2}}\\
&amp;=\frac{4 x^{3}+5}{3 x^{2}}
\end{align*}

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion mittels Produkt- und Kettenregel:
\begin{align*}
f(x)=\frac{2 x^{3}-5}{3 x}
\end{align*}

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion mittels Produkt- und Kettenregel:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
f(x)=\frac{2 x^{3}-5}{3 x}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.943ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.547ex" height="5.016ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1358.6 6871.6 2217.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4107-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-4107-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gemischte Regeln mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Differenzieren (Ableiten) - Gemischte Regeln | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
Konstantenregel:
$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$
 
Faktorregel:
$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$
 
Potenzregel:
$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$
 
Summenregel:
$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$
 
Produktregel:
$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$
 
Kettenregel:
$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$
 
Quotientenregel:
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: