Wenn eine Funktion wiederum von einer Funktion abhängt, so spricht man von einer verketteten Funktion. Zum Ableiten solltest du in diesem Fall die Kettenregel verwenden.

Kettenregel

Funktionen, die aus einem Produkt zweier Teilfunktionen bestehen, kannst du mit der Produktregel ableiten.

Produktregel

Liegt eine gebrochenrationale Funktion vor, so wird die Quotientenregel zum Ableiten genutzt.

Quotientenregel

Hier lernst du, wie du unterschiedlichste Ableitungsregeln kombiniert anwendest. Das ist wichtig, da Funktionen oft aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sind.

Gemischte Regeln

Ableitungsregeln (Übersicht)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sin x+\cos x \cdot \sqrt{1-x^{2}}
\end{align*}\]

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f^{\prime}(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \sin x+\cos x \cdot \sqrt{1-x^{2}}
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xlink:href="#MJX-18-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9088.5,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10316.5,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10483.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11277.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12277.6,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13615.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13782.2,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14576.5,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(15076.7,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1722.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,204.2)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-18-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="2731" height="60" x="1020" y="994.2"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

*Im folgenden werden mehrere Regeln nacheinander angewendet.*

Da es sich um ein Produkt handelt, starte mit der Produktregel:

\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)&amp;=\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime} \cdot \sin (x) + \left(\sin (x)\right)^{\prime} \cdot \sqrt{1-x^{2}}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f^{\prime}(x)&=\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime} \cdot \sin (x) + \left(\sin (x)\right)^{\prime} \cdot \sqrt{1-x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.609ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="48.453ex" height="4.348ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1211 21416.2 1922" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-13-TEX-V-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 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404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-13-TEX-LO-28" d="M180 96T180 250T205 541T266 770T353 944T444 1069T527 1150H555Q561 1144 561 1141Q561 1137 545 1120T504 1072T447 995T386 878T330 721T288 513T272 251Q272 133 280 56Q293 -87 326 -209T399 -405T475 -531T536 -609T561 -640Q561 -643 555 -649H527Q483 -612 443 -568T353 -443T266 -270T205 -41Z"></path><path id="MJX-13-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 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Bilde $\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime}$ mit der Kettenregel und leite $\sin (x)$ ab:

Bilde <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime}" style="vertical-align: -1.469ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.438ex" height="4.348ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1272.5 5055.5 1922" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-LO-28" d="M180 96T180 250T205 541T266 770T353 944T444 1069T527 1150H555Q561 1144 561 1141Q561 1137 545 1120T504 1072T447 995T386 878T330 721T288 513T272 251Q272 133 280 56Q293 -87 326 -209T399 -405T475 -531T536 -609T561 -640Q561 -643 555 -649H527Q483 -612 443 -568T353 -443T266 -270T205 -41Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path 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\[\begin{align*}
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\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime}&=-2 x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} \\\\
&=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \\
\left(\sin (x) \right)^{\prime} &= \cos (x)
\end{align*}" style="vertical-align: -9.415ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.888ex" height="19.962ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4661.5 13652.5 8823" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-LO-28" d="M180 96T180 250T205 541T266 770T353 944T444 1069T527 1150H555Q561 1144 561 1141Q561 1137 545 1120T504 1072T447 995T386 878T330 721T288 513T272 251Q272 133 280 56Q293 -87 326 -209T399 -405T475 -531T536 -609T561 -640Q561 -643 555 -649H527Q483 -612 443 -568T353 -443T266 -270T205 -41Z"></path><path id="MJX-16-TEX-SO-221A" d="M263 249Q264 249 315 130T417 -108T470 -228L725 302Q981 837 982 839Q989 850 1001 850Q1008 850 1013 844T1020 832V826L741 243Q645 43 540 -176Q479 -303 469 -324T453 -348Q449 -350 436 -350L424 -349L315 -96Q206 156 205 156L171 130Q138 104 137 104L111 130L263 249Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 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\[\begin{align*}
f^{\prime}(x)&amp;= \left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime} \cdot \sin (x) + \left(\sin (x)\right)^{\prime} \cdot \sqrt{1-x^{2}} \\\\
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\end{align*}\]

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f^{\prime}(x)&= \left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{\prime} \cdot \sin (x) + \left(\sin (x)\right)^{\prime} \cdot \sqrt{1-x^{2}} \\\\
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data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,106.5)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-221A"></use></g><rect width="2731" height="60" x="853" y="846.5"></rect></g><rect width="3784" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6357.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6858,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8086,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8252.7,0)"><use data-c="1D465" 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transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1722.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-17-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-17-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,204.2)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-17-TEX-SO-221A"></use></g><rect width="2731" height="60" x="1020" y="994.2"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion:
\[\begin{align*}f(x)=\sqrt{1-x^{2}} \cdot \sin (x) \end{align*}\]

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}f(x)=\sqrt{1-x^{2}} \cdot \sin (x) \end{align*}" style="vertical-align: -0.978ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.269ex" height="3.086ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -932.1 10285 1364.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gemischte Regeln mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Differenzieren (Ableiten) - Gemischte Regeln | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
Konstantenregel:
$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$
 
Faktorregel:
$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$
 
Potenzregel:
$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$
 
Summenregel:
$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$
 
Produktregel:
$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$
 
Kettenregel:
$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$
 
Quotientenregel:
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: