"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Das Lösung des Integrals lautet:
\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}

Das Lösung des Integrals lautet:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.06ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.039ex" height="5.251ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1410.5 11951.3 2321" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2578-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-2578-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -49.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1110.7, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(824.2, -719.2)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-33"></use></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3734.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4254.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5104.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6160.2, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1444.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2278.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2278.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2667.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3239.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3850.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4851.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2157.8, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2578-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="5551.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Wähle $u(x)$, $v^{\prime}(x)$ und berechne $u^{\prime}(x)$, $v(x)$:

Wähle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="u(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.348ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1922 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2571-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2571-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2571-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2571-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2571-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-2571-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-2571-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1533, 0)"><use xlink:href="#MJX-2571-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v^{\prime}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.705ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 2079.5 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2572-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-2572-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-2572-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2572-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2572-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2572-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(485, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2572-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(729.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2572-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1118.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2572-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1690.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2572-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="u^{\prime}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.901ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 2166.5 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2573-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2573-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-2573-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2573-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2573-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2573-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2573-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(816.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2573-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1205.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2573-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1777.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2573-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.152ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1835 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2574-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-2574-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2574-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2574-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2574-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(485, 0)"><use xlink:href="#MJX-2574-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(874, 0)"><use xlink:href="#MJX-2574-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1446, 0)"><use xlink:href="#MJX-2574-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:

\begin{alignat*}{2}
u(x)&amp;=\ln (x) \quad \quad &amp;&amp;&amp; \Rightarrow u^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \\
v^{\prime}(x)&amp;=\frac{1}{x^{3}} &amp;&amp;&amp; \Rightarrow v(x)=-\frac{1}{2 x^{2}}
\end{alignat*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{alignat*}{2}
u(x)&=\ln (x) \quad \quad &&& \Rightarrow u^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \\
v^{\prime}(x)&=\frac{1}{x^{3}} &&& \Rightarrow v(x)=-\frac{1}{2 x^{2}}
\end{alignat*}" style="vertical-align: -4.425ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="33.97ex" height="9.982ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2456 15014.7 4411.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2575-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-2575-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2575-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1114)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(157.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1533, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2079.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2556.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3128.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3517.6, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4517.6, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1555.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2372, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2761, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3333, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3999.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5055.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256, 676)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1225)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(485, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(729.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1118.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1690.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2079.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(457.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, -719.2)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-33"></use></g></g></g><rect width="1175.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1555.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2040.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2429.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3001.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3668.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4724.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5502.1, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein :

\begin{align*}
\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x &amp;= \ln (x) \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) -\int \frac{1}{x} \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) d x \\
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2 x^{3}} d x
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x &= \ln (x) \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) -\int \frac{1}{x} \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) d x \\
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2 x^{3}} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -5.113ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="50.538ex" height="11.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2760 22338 5020" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2576-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-2576-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2576-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path><path id="MJX-2576-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1310.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1110.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1944.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1944.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2333.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2905.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(3294.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3544.7, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(457.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, -719.2)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-33"></use></g></g></g><rect width="1175.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4960.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5480.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2556.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3128.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3517.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(736, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1514, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3429.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7905.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(10016.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(11028.2, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(736, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1514, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3429.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(15193.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(15713.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1399)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2111.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(574.2, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4957.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5958, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(7068.7, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.2)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8984.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9504.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Berechne das neu entstandene Integral:

\begin{align*}
\phantom{\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x}
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2} x^{-3} d x\\
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4}x^{-2}\\
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4 x^{2}}\\
&amp;=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x}
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2} x^{-3} d x\\
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4}x^{-2}\\
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4 x^{2}}\\
&=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -10.513ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.734ex" height="22.158ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -5146.9 16678.6 9793.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2577-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-2577-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 3686.9)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mphantom"></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2111.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(574.2, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4957.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5958, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(7068.7, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(8008.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9534.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10054.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1065.9)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2111.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(574.2, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4957.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5958, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-34"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6898, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1425)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2111.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(574.2, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4957.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5958, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -3916)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1444.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2278.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2278.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2667.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3239.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3850.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4851.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2157.8, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2577-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="5551.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x
\end{align*}

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -2.06ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.92ex" height="5.251ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1410.5 4826.7 2321" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2570-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-2570-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -49.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1110.7, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(824.2, -719.2)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-N-33"></use></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3734.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4254.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-2570-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Partielle Integration | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: