"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

\[\int x^{2} \cos (x) d x=x^{2} \sin (x)+2 x \cos (x)-2 \sin (x)\]

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\[\begin{alignat*}{2}
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u(x)&=x^{2} \quad   \Rightarrow \quad u^{\prime}(x)=2 x \\\\
v^{\prime}(x)&=\cos (x) \quad \Rightarrow \quad v(x)=\sin (x)
\end{alignat*}" style="vertical-align: -3.725ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.923ex" height="8.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2146.5 15436.1 3792.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 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data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2112.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2342.1,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3619.9,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4619.9,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5897.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-14-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6747.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7136.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7708.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8374.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9430.7,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9930.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-37.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2112.5,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1396.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-14-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(762.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1151.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1723.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2112.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2671.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2671.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3060.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3632.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4021.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5299.3,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(6299.3,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7577.1,0)"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8062.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8451.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9023.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9689.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10745.7,0)"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-73"></use><use data-c="69" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-69" transform="translate(394,0)"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-6E" transform="translate(672,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11973.7,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11973.7,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12362.7,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12934.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein :

\[\begin{align*}
\int x^{2} \cos (x) d x=x^{2} \sin (x)-\int 2 x \sin (x) d x
\end{align*}\]

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\[\begin{alignat*}{2}
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Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein und berechne das entstehende Integral:

\[\begin{align*}
\int x^{2} \cos (x) d x&amp;=x^{2} \sin (x)-\int 2 x \sin (x) d x
\end{align*}\]

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\int x^{2} \cos (x) d x&=x^{2} \sin (x)-\int 2 x \sin (x) d x
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\[\begin{align*}
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\int x^{2} \cos (x) d x
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Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\[\begin{align*}
\int x^{2} \cos (x) d x
\end{align*}\]

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\int x^{2} \cos (x) d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.724ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 6065.9 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-9-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Partielle Integration | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: