"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

\[\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x = x e^{2 x}
\end{align*}\]

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\int(2 x+1) e^{2 x} d x = x e^{2 x}
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Wähle $u(x)$, $v^{\prime}(x)$ und berechne $u^{\prime}(x)$, $v(x)$:

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data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2627.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3628,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4128,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(5128,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(9576,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1555.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-16-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2436,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2825,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3397,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4063.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5119.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,484.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2104.5,0)"></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-1407.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(510,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2032" xlink:href="#MJX-16-TEX-V-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(754.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1143.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1715.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2104.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(8232.5,0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1555.6,0)"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2032.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2421.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2993.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3660.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4716.1,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5656.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(499,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-16-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-16-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Nutze die Formel der partiellen Integration und berechne anschließend das entstehende Integral:

\[\begin{align*}
\int \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{e^{2 x}}_{{g^{\prime}(x)}} dx &amp;= \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2 x}}_{g(x)}-\int \underbrace{2}_{f^{\prime}(x)} \cdot \underbrace{\frac{1}{2} e^{2 x}}_{g(x)} d x
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
\phantom{\int \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{e^{2 x}}_{{g^{\prime}(x)}} dx}
&amp;=\frac{1}{2}(2 x+1) e^{2 x}-\int e^{2 x} d x \\
&amp;=\frac{1}{2} e^{2 x}(2 x+1-1) \\\\
&amp;=2 x \frac{1}{2} e^{2 x} \\\\
&amp;=x e^{2 x}
\end{align*}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\int \underbrace{(2 x+1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{e^{2 x}}_{{g^{\prime}(x)}} dx}
&=\frac{1}{2}(2 x+1) e^{2 x}-\int e^{2 x} d x \\
&=\frac{1}{2} e^{2 x}(2 x+1-1) \\\\
&=2 x \frac{1}{2} e^{2 x} \\\\
&=x e^{2 x}
\end{align*}" style="vertical-align: -12.89ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="45.662ex" height="26.912ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -6197.5 20182.7 11895" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-18-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 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Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\[\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x
\end{align*}\]

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\int(2 x+1) e^{2 x} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.646ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 6915.5 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Partielle Integration | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: