Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Tipps zur Grenzwertberechnung

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

<p>Die Potenzreihe hat einen Konvergenzradius von $R=\frac{1}{4}$</p>

<p>Die Potenzreihe hat einen Konvergenzradius von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R=\frac{1}{4}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.53ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 2886.1 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2099-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-2099-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2099-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2099-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2099-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1036.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2099-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2092.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2099-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-2099-TEX-N-34"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Nutze das Quotientenkriterium zum Bestimmen vom Konvergenzradius.</p>


<p>Bilde zunächst $\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$ und forme so um, dass du anschließend den Grenzwert bilden kannst:</p>


<p>Bilde zunächst <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|" style="vertical-align: -1.113ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.553ex" height="3.358ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -992.1 2454.4 1484.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2094-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-2094-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2094-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2094-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2094-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><svg width="278" height="1484.1" y="-492.1" x="27.5" viewBox="0 -183.8 278 1484.1"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.228)"></use></svg></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(333, 0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(539.5, 451.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-N-31"></use></g></g></g><rect width="1548.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2121.4, 0)"><svg width="278" height="1484.1" y="-492.1" x="27.5" viewBox="0 -183.8 278 1484.1"><use xlink:href="#MJX-2094-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.228)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container> und forme so um, dass du anschließend den Grenzwert bilden kannst:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|&amp;=\frac{\left(\begin{array}{c}</p>
<p>{2 n} \\</p>
<p>{n}</p>
<p>\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}</p>
<p>{2 n+2} \\</p>
<p>{n+1}</p>
<p>\end{array}\right)} \\</p>
<p>&amp;=\frac{\frac{(2 n !)}{n !(2 n-n) !}}{\frac{(2 n+2) !}{(n+1) !(2 n+2-n-1) !}} \\</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|} </p>
<p>&amp;=\frac{(2 n !)}{(2 n+2) !} \cdot \frac{((n+1) !)^{2}}{(n !)^{2}} \\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{(2 n+2)(2 n+1)} \cdot(n+1)^{2} \\</p>
<p>&amp;=\frac{n+1}{2(2 n+1)} \\</p>
<p>&amp;=\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n \cdot 2\left(2+\frac{1}{n}\right)} \\</p>
<p>&amp;=\frac{1+\frac{1}{n}}{ 2\left(2+\frac{1}{n}\right)}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Bilde nun den Grenzwert $R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$:</p>


<p>Bilde nun den Grenzwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|" style="vertical-align: -1.113ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.702ex" height="3.358ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -992.1 7824.4 1484.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2097-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-S4-2223" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-2097-TEX-I-1D44E" d="M33 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46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1036.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="munder" transform="translate(2092.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-69" transform="translate(278, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-6D" transform="translate(556, 0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1389, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1600, 0)"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-221E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(5370, 0)"><g data-mml-node="mo"><svg width="278" height="1484.1" y="-492.1" x="27.5" viewBox="0 -183.8 278 1484.1"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.228)"></use></svg></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(333, 0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(539.5, 451.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1378, 0)"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-N-31"></use></g></g></g><rect width="1548.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2121.4, 0)"><svg width="278" height="1484.1" y="-492.1" x="27.5" viewBox="0 -183.8 278 1484.1"><use xlink:href="#MJX-2097-TEX-S4-2223" transform="scale(1, 2.228)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>R &amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \\</p>
<p>&amp;=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{ 2\left(2+\frac{1}{n}\right)}\right) \\</p>
<p>&amp;= \frac{1}{4}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Konvergenzradius $R$ der Potenzreihe</p>
<p>- \begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\{n}\end{array}\right) x^{n}\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Konvergenzradius <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 704" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2092-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2092-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container> der Potenzreihe</p>
<p>- <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\{n}\end{array}\right) x^{n}\end{align*}" style="vertical-align: -2.611ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.453ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1654.2 5062.3 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2093-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-2093-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Konvergenzradius bestimmen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Potenzreihen - Konvergenzradius bestimmen | Aufgabe mit Lösung

<p>Falls ein Bruch $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ von der Form $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ oder $\left(\frac{0}{0}\right)$ vorliegt:</p>
<ul>
<li>Finde die größte Potenz von $n$ im Nenner und klammere diese in Zähler und Nenner aus. Kürze anschließend und schaue wo Nullfolgen entstanden sind.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}-b_{n}$ von der Form $(\infty-\infty)$:</p>
<ul>
<li>Nutze zunächst die Umformung $a-b=\frac{(a-b) \cdot(a+b)}{a+b}=\frac{a^{2} b^{2}}{a+b}$ um die Form $\frac{\infty}{\infty}$ zu erhalten. Nun kannst du obigen Tipp verwenden.</li>
</ul>
<p>Falls $a_{n}$ von der Form $\left(1^{\infty}\right)$:</p>
<ul>
<li>Bringe den Ausdruck auf die Form $\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ und nutze anschließend, dass gilt $\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Potenzreihe</h2>
<p>\[P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]</p>



<h2 class="content_sub_heading">Potenzreihe</h2>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}" style="vertical-align: -2.819ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.008ex" height="6.354ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 10169.7 2808.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-792-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 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<h2 class="content_sub_heading">Konvergenzradius bestimmen</h2>
<ol>
<li>Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ mit einem geeigneten Kriterium. Dabei gilt: Das Wurzelkriterium funktioniert immer. Das Quotientenkriterium allerdings nur, wenn tatsächlich ein Grenzwert exisitert.
<ul>
<li><strong>Wurzelkriterium </strong>(für Potenzreihen): <br />\begin{align*} R=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\end{align*}<br /><em>Hier muss berücksichtigt werden, dass man $\frac{1}{0}:=+\infty$ und $\frac{1}{\infty}:=0$ definiert.<br /><br /></em></li>
<li><strong>Quotientenkriterium</strong>:<br />\begin{align*}R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\end{align*}<br /><br /></li>
</ul>
</li>
<li>Interpretiere dein Ergebnis:<br />
<ul>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|&amp;lt;R$ konvergiert die Potenzreihe.</p>
</li>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|&amp;gt;R$ divergiert die Potenzreihe.</p>
</li>
<li>
<p>Für $\left|x-x_{0}\right|=R$ ist keine allgemeine Aussage möglich.</p>
</li>
</ul>
</li>
</ol>
<p style="padding-left: 40px;"><em>Für die Untersuchung des letzten Falls, kannst du ggf. noch die Randpunkte $x=x_{0} \pm R$ einzeln untersuchen (siehe Kapitel Reihen untersuchen).</em></p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: