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Aufgabenstellung:

Differenziere die Funktion

und ihre Umkehrfunktion.

Lösungsweg:

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Ableitung von

Die Funktion ist auf differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen, da für alle . Somit ist stetig.

Es ergibt sich für die Ableitung:

Existenz der Umkehrfunktion:

ü

Also ist streng monoton fallend (somit injektiv) und stetig. Somit existiert eine Umkehrfunktion auf dem Intervall .

Ableitung der Umkehrfunktion :

Forme nach um:

Es folgt mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion, dass differenzierbar auf ist und es gilt für die Ableitung von

Benutze:

Benutze: und

Lösung:

Somit sind die Ableitungen: