Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Mithilfe dieses Satzes kannst du die Ableitung einer Umkehrfunktion bestimmen, ohne dabei explizit die Umkehrfunktion vorher berechnen und ableiten zu müssen.

Satz: Ableitung der Umkehrfunktion

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\[\begin{align*}</p>
<p>f^{\prime}(x) &amp;= \frac{-\cos x}{(1+\sin x)^{2}}\\\\</p>
<p>\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)&amp;= -\frac{1}{y \cdot \sqrt{2 y-1}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Ableitung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="cot(x):" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.205ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3184.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(433,0)"><use data-c="1D45C" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(918,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1279,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1668,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2240,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2906.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Die Funktion $f$ ist auf $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen, da $1+\sin x&amp;gt;0$ für alle $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Somit ist $f$ stetig.</p>
<p>Es ergibt sich für die Ableitung:</p>


<p>Die Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist auf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)" style="vertical-align: -0.791ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.653ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 3824.8 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 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Somit ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> stetig.</p>
<p>Es ergibt sich für die Ableitung:</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>f^{\prime}(x) &amp;=\left(\frac{1}{1+\sin x}\right)^{\prime} \\ \\</p>
<p>&amp;=\frac{0 \cdot(1+\sin x)-1 \cdot \cos x}{(1+\sin x)^{2}} \\ \\</p>
<p>&amp;=\frac{-\cos x}{(1+\sin x)^{2}}</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>\[</p>
<p>f^{\prime}(x)&amp;lt;0 \quad \text { für alle } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)</p>
<p>\]</p>


<p>Also ist $f$ streng monoton fallend (somit injektiv) und stetig. Somit existiert eine Umkehrfunktion auf dem Intervall $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.</p>


<p>Also ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> streng monoton fallend (somit injektiv) und stetig. Somit existiert eine Umkehrfunktion auf dem Intervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)" style="vertical-align: -0.791ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.713ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 5619.3 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-11-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-11-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-11-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1794.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-11-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(458,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1236,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(244.7,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-32"></use></g><rect width="603.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2079.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2523.7,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(244.7,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-32"></use></g><rect width="603.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3366.8,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-11-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


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52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> um:</p>


<p>\[\begin{aligned}</p>
<p>&amp;&amp; y &amp;=\frac{1}{1+\sin x} \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; y(1+\sin x) &amp;=1 \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; y+y \sin x &amp;=1 \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; y-1 &amp;=-y \sin x \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \frac{1-y}{y} &amp;=\sin x \\\\</p>
<p>\Leftrightarrow&amp;&amp; \arcsin \left(\frac{1-y}{y}\right) &amp;=x</p>
<p>\end{aligned}\]</p>


<p>Es folgt mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion, dass $f^{-1}$ differenzierbar auf $(\frac{1}{2}, \infty)$ ist und es gilt für die Ableitung von $f^{-1}:\left(\frac{1}{2}, \infty\right) \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$</p>


<p>Es folgt mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f^{-1}" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.597ex" height="2.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1589.7 1038.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-15-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(636,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> differenzierbar auf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\frac{1}{2}, \infty)" style="vertical-align: -0.781ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.824ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 3016.2 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-16-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-16-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 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<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)&amp;= \frac{1}{f^{\prime}(x)} \\\\</p>
<p>&amp;= \frac{1}{\frac{-\cos x}{(1+\sin x)^{2}}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Benutze: $x=\arcsin \left(\frac{1-y}{y}\right)$</p>


<p>Benutze: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=\arcsin \left(\frac{1-y}{y}\right)" style="vertical-align: -1.469ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.014ex" height="4.07ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1149.5 7520.4 1799" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 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<p>\[\begin{align*}\quad</p>
<p>\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)&amp;=-\frac{\left(1+\sin \left(\arcsin \left(\frac{1-y}{y}\right)\right)\right)^2}{\cos \left(\arcsin \left(\frac{1-y}{y}\right)\right)}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Benutze: $\sin(\arcsin(x))=x$ und $1= \sin(x)^2 + \cos(x)^2$</p>


<p>Benutze: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sin(\arcsin(x))=x" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.705ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7825.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 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<p>\[\begin{align*}\quad </p>
<p>\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)&amp;=-\frac{\left(1+\frac{1-y}{y}\right)^{2}}{\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\arcsin \left(\frac{1-y}{y}\right)\right)}} \\</p>
<p>&amp;=-\frac{\left(1+\frac{1-y}{y}\right)^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{1-y}{y}\right)^{2}}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>\[\begin{align*}\quad </p>
<p>\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)&amp;= -\frac{\left(1+\frac{1}{y}-1\right)^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{y}-1\right)^{2}}} \\</p>
<p>&amp;= -\frac{1}{y^{2} \cdot \sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{y}-1}} \\</p>
<p>&amp;= -\frac{1}{y \cdot \sqrt{2 y-1}}</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Differenziere die Funktion</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[\begin{align*}</p>
<p>f:&amp;\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow\left(\frac{1}{2}, \infty\right), \quad</p>
<p>f(x)=\frac{1}{1+\sin x}</p>
<p>\end{align*}\]</p>
<p>und ihre Umkehrfunktion.</p>

<p>Differenziere die Funktion</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
f:&\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow\left(\frac{1}{2}, \infty\right), \quad
f(x)=\frac{1}{1+\sin x}
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<p>und ihre Umkehrfunktion.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz: Ableitung der Umkehrfunktion mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: