Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1432.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1877.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3215.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4219.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eines endlichdimensionalen Vektorraums <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="V" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.74ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 769 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D449"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Orthogonale Projektion

Vektor aus Bedingungen ableiten

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

<p>Nach dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren ist </p>
<p>$B^\prime=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{18}}\left(\begin{array}{c}-1 \\4 \\1\end{array}\right)\right\}$</p>
<p>eine ONB für den durch $B$ aufgespannten Unterraum des $\mathbb{R}^{3}$.</p>

<p>Nach dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren ist </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B^\prime=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right), \frac{1}{\sqrt{18}}\left(\begin{array}{c}-1 \\4 \\1\end{array}\right)\right\}" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="29.377ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 12984.7 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6171-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 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data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-31"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1375, 0)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4535.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4980.4, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(698.4, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220, -511.4) scale(0.707)"><g transform="translate(853, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-38" transform="translate(500, 0)"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 107.1)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-221A"></use></g><rect width="1000" height="42.4" x="853" y="864.6"></rect></g><rect width="1510.3" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(6730.7, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-N-31"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2153, 0)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9758.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23AB" transform="translate(0, 1251)"></use><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23AD" transform="translate(0, -751)"></use><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23AC" transform="translate(0, 0)"></use><svg width="889" height="281" y="1060" x="0" viewBox="0 49.5 889 281"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23AA" transform="scale(1, 1.382)"></use></svg><svg width="889" height="281" y="-841" x="0" viewBox="0 49.5 889 281"><use xlink:href="#MJX-6171-TEX-S4-23AA" transform="scale(1, 1.382)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>eine ONB für den durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6172-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6172-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aufgespannten Unterraum des <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}^{3}" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.547ex" height="1.992ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -880.3 1125.6 880.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6173-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-6173-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6173-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722, 410.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6173-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>

<p>1. Berechne $b_{1}^{\prime}:=\frac{b_{1}}{\left\|b_{1}\right\|}$</p>


<p>1. Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b_{1}^{\prime}:=\frac{b_{1}}{\left\|b_{1}\right\|}" style="vertical-align: -1.238ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.457ex" height="3.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -936.8 4179.9 1483.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6166-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-6166-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-6166-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6166-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-6166-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6166-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-2032"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -257.5) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1110.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-3A"></use><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-3D" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2444.1, 0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(573.6, 446.1) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -370.3) scale(0.707)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1332.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6166-TEX-N-2225"></use></g></g><rect width="1495.8" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>b_{1}^{\prime}&amp;=\frac{b_{1}}{\left\|b_{1}\right\|}\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\1\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>2. Berechne $b_2^\prime := \frac{1}{\left\|c_{2}\right\|} c_{2} \text { mit } c_{2}=b_{2}-\left\langle b_{2}, b^\prime_{1}\right\rangle b_{1}^\prime$</p>


<p>2. Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="b_2^\prime := \frac{1}{\left\|c_{2}\right\|} c_{2} \text { mit } c_{2}=b_{2}-\left\langle b_{2}, b^\prime_{1}\right\rangle b_{1}^\prime" style="vertical-align: -1.238ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="33.857ex" height="3.195ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 14964.7 1412" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6168-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-6168-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 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385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-6168-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-6168-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-6168-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-6168-TEX-N-27E8" d="M333 -232Q332 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data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(433, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8133.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(9189.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10244.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(11244.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-27E8"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1221.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(1666.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(429, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -257.5) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2498.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-27E9"></use></g></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(14132.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(429, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-2032"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(429, -257.5) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6168-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>c_{2}&amp;=b_{2}-\left\langle b_{2}, b_{1}^{\prime}\right\rangle b_{1}^{\prime}  \\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\5\end{array}\right)</p>
<p>-\left\langle\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\5\end{array}\right),</p>
<p>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\0 \\1 \end{array}\right) \right\rangle</p>
<p> \ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\0 \\1 \end{array}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}3 \\4 \\5\end{array}\right)</p>
<p>-\frac{8}{2}\left(\begin{array}{c}1 \\0 \\1 \end{array}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}-1 \\4 \\1\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>b_{2}^{\prime}&amp;=\frac{c_{2}}{\left\|c_{2}\right\|}\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{\sqrt{18}}\left(\begin{array}{c}-1 \\4 \\1\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Die folgende Basis $B=\left\{b_{1}, b_{2}\right\}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\right\}$ eines Unterraums des $\mathbb{R}^{3}$ ist gegeben. </p>
<p>Verwende das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren, um eine Orthonormalbasis $B^{\prime}$ zu $B$ zu finden.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Skalarprodukte, Kreuzprodukt, Orthogonalität - Gram-Schmidt Orthonormi


<h2 class="content_sub_heading">Titel ändern</h2>
<p>Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines Vektorraums $V$ eine Orthonormalbasis $\{b_1, \ldots b_n\}$ zu konstruieren.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Titel ändern</h2>
<p>Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.826ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4785.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-470-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: