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Aufgabenstellung:

Bestimme Kern, Defekt, Bild und Rang der folgenden linearen Abbildungen und untersuchen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Lösungsweg:

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Es gilt

Mit folgt für das Bild:

Mit dem gefundenen Bild folgt für die Surjektivität:

Da ergibt sich, dass nicht surjektiv (und damit auch nicht bijektiv ist).

Rang: 

Defekt über Dimensionsformel:

Aussage über Injektivität mit Hilfe des ermittelten Defekts:

Der Defekt entspricht der Dimension vom Kern. Also hat der Kern von die Dimension 0 und besteht somit nur aus dem Nullvektor.

Damit ist injektiv (nach Satz).

Lösung:

Der Kern besteht nur aus dem Nullvektor.

Defekt:

Bild:

Rang:

ist injektiv, aber nicht sujektiv und somit auch nicht bijektiv.