Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Diagonalisierung

Diagonalisierung einer Matrix

Definitheit prüfen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$$\lambda_1=1, \quad\lambda_2=2-i, \quad \lambda_3=2+i$$</p>
<p>$$v_1=\left(\begin{array}{c}1 \\2\\1\end{array}\right), \quad v_2=\left(\begin{array}{c} -2i\\1\\1+i\end{array}\right), \quad v_3=\left(\begin{array}{c} 2i\\1\\1-i\end{array}\right)$$</p>

<p>$1$. Bestimme das charakteristische Polynom</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bestimme das charakteristische Polynom</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\chi_{A}(\lambda)&amp;=\det(A-\lambda E)</p>
<p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}\\\\</p>
<p>&amp;=\det\left(\begin{array}{cc}-1-\lambda &amp; 4&amp;-6\\3&amp;-3-\lambda&amp;5\\4&amp;-6&amp;9-\lambda\end{array}\right)</p>
<p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}\\\\</p>
<p>&amp;=(-1-\lambda)(-3-\lambda)(9-\lambda)+80+108+24(-3-\lambda)+30(-1-\lambda)-12(9-\lambda)\\\\</p>
<p>&amp;=-\lambda^3+5\lambda^2-9\lambda+5</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bestimme die Eigenwerte</p>


<p>Berechne dafür die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.</p>


<p>Verwende Polynomdivision. Rate dafür die erste Nullstelle.</p>


<p>\[\quad<br />\begin{aligned}<br />&amp;\left(-\lambda^{3}+5 \lambda^{2}-9 \lambda+5\right):(\lambda-1)=-\lambda^{2}+4 \lambda-5\\<br />&amp;\underline{-\lambda^{3}+\lambda^{2}}\\</p>
<p>&amp; \quad\quad\ \ {4 \lambda^{2}-9 \lambda}\\<br />&amp;\quad\quad\ \, \frac{4 \lambda^{2}-4 \lambda}{-5 \lambda+5}\\<br />&amp;\quad\quad\ \ \quad\quad\  \frac{-5 \lambda+5}{0}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Verwende jetzt die PQ-Formel für $\lambda^2-4\lambda+5=0$</p>


<p>Verwende jetzt die PQ-Formel für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda^2-4\lambda+5=0" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.568ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 6881 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1241.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2242,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2742,0)"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3547.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4547.4,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5325.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6381,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>$$\quad\begin{align*}</p>
<p>\lambda_{2,3}&amp;=2\pm \sqrt{2^2-5}\\\\</p>
<p>&amp;=2\pm i</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\quad\Rightarrow \lambda_2=2-i,\, \lambda_3=2+i$$</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bestimme die Eigenvektoren</p>


<p>Berechne zuerst den Eigenraum von $A$ zum Eigenwert $\lambda_1=1$</p>


<p>Berechne zuerst den Eigenraum von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-11-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Eigenwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_1=1" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.455ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2853.1 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2353.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(1)&amp;=\ker(A-E)</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(1)}\\\\</p>
<p>&amp;=\ker\left(\begin{array}{ccc}-2 &amp; 4&amp;-6\\3&amp;-4&amp;5\\4&amp;-6&amp;8\end{array}\right)</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(1)}\\\\</p>
<p>&amp;=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-2 &amp;4&amp;-6\\0&amp;2&amp;-4\\0&amp;2&amp;-4</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(1)}\\\\</p>
<p>&amp;=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp;-2&amp;3\\0&amp;1&amp;-2\\0&amp;0&amp;0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(1)}\\\\</p>
<p>&amp;=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp;0&amp;-1\\0&amp;1&amp;-2\\0&amp;0&amp;0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(-1)}\\\\</p>
<p>&amp;=\left\{x \in \mathbb{C}^{3}: x_{1}=x_3, x_2=2x_3\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_3=1" style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.43ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2842.1 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1286.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2342.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>$$\begin{align*}\quad</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(1)</p>
<p>=\left\langle\left(\begin{array}{c}1 \\2\\1\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Jetzt kann der Eigenvektor direkt aus dem Eigenraum abgelesen werden</p>


<p>$$v_1=\left(\begin{array}{c}1 \\2\\1\end{array}\right)$$</p>


<p>Berechne jetzt den Eigenraum von $A$ zum Eigenwert $\lambda_2=2-i$ </p>


<p>Berechne jetzt den Eigenraum von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-17-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-17-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zum Eigenwert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_2=2-i" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.001ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4420.6 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-18-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-18-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-18-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2353.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3075.3,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-18-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4075.6,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-18-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> </p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(2-i)=\ker(A-(2-i)E)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-3+i &amp; 4&amp;-6\\3&amp;-5+i&amp;5\\4&amp;-6&amp;7+i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>i &amp; -1+i&amp;-1\\3&amp;-5+i&amp;5\\1&amp;-1-i&amp;2+i</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\begin{array}{c}</p>
<p>\mathrm{I}\to\mathrm{I}+\mathrm{II},\\</p>
<p>\mathrm{III}\to \mathrm{III}-\mathrm{II}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 1+i&amp;i\\0&amp;-8-2i&amp;5-3i\\0&amp;1+i&amp;-1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2i&amp;0\\0&amp;-8-2i&amp;5-3i\\0&amp;1+i&amp;-1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\begin{array}{c}</p>
<p>\mathrm{I}\to\mathrm{I}+i\cdot\mathrm{II}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2i&amp;0\\0&amp;-3+3i&amp;-3i\\0&amp;1+i&amp;-1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\begin{array}{c}</p>
<p>\mathrm{II}\to\mathrm{II}+5\cdot\mathrm{III}</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 2i&amp;0\\0&amp;0&amp;0\\0&amp;1+i&amp;-1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>
<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(2-i)}</p>
<p>=\left\{x \in \mathbb{C}^{3}: x_{1}=-2ix_2, \,x_3=(1+i)x_2\right\}</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_2=1" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.43ex" height="1.846ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2842.1 816" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1286.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2342.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>$$\begin{align*} \quad</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(2-i)</p>
<p>=\left\langle\left(\begin{array}{c} -2i\\1\\1+i\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Analog kann auch hier der Eignevektor direkt abgelesen werden </p>


<p>$$v_2=\left(\begin{array}{c} -2i\\1\\1+i\end{array}\right)$$</p>


<p>Da $A$ reell ist, folgt aus $\lambda_3=\overline{\lambda_2}$, auch $v_3=\overline{v_2}$</p>


<p>Da <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> reell ist, folgt aus <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_3=\overline{\lambda_2}" style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.63ex" height="2.662ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1011 3372.7 1176.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-31-TEX-S4-2013" d="M0 248V285H499V248H0Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-31-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-31-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-31-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mover" transform="translate(2353.1,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-31-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-31-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,626)"><svg width="1019.6" height="237" x="0" y="148" viewBox="254.9 148 1019.6 237"><use data-c="2013" xlink:href="#MJX-31-TEX-S4-2013" transform="scale(3.059,1)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container>, auch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v_3=\overline{v_2}" style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.187ex" height="2.094ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -760 3176.7 925.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-32-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-32-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-32-TEX-S4-2013" d="M0 248V285H499V248H0Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1199.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mover" transform="translate(2255.1,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-32-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-32-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,375)"><svg width="921.6" height="237" x="0" y="148" viewBox="230.4 148 921.6 237"><use data-c="2013" xlink:href="#MJX-32-TEX-S4-2013" transform="scale(2.765,1)"></use></svg></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>$$v_3=\left(\begin{array}{c} 2i\\1\\1-i\end{array}\right)$$</p>

<p>Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix</p>
<p>$$A=\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-1 &amp; 4 &amp; -6 \\</p>
<p>3 &amp; -3 &amp; 5 \\</p>
<p>4 &amp; -6 &amp; 9</p>
<p>\end{array}\right)$$</p>

<p>Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="A=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 4 & -6 \\
3 & -3 & 5 \\
4 & -6 & 9
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: