Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Diagonalisierung

Diagonalisierung einer Matrix

Definitheit prüfen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$B=\left(\begin{array}{ccc}</p><p>1 &amp; 0 &amp; -1 \\</p><p>2 &amp; 2 &amp; 1 \\</p><p>2 &amp; 1 &amp; 0</p><p>\end{array}\right)$,</p><p>$D=\left(\begin{array}{ccc}</p><p>0 &amp; 0 &amp; 0 \\</p><p>0 &amp; -1 &amp; 0 \\</p><p>0 &amp; 0 &amp; 1</p><p>\end{array}\right)$</p>

<p>1. Bestimme das charakteristische Polynom</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\chi_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}=\det\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>2-\lambda &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>-6 &amp; -5-\lambda &amp; 8 \\</p>
<p>-2 &amp; -2 &amp; 3-\lambda</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}&amp;=-(2-\lambda)(5+\lambda)(3-\lambda)-16-24\\&amp;\phantom{=}+4(5+\lambda)+16(2-\lambda)+6(3-\lambda)\\</p>
<p>&amp;= -\lambda^3+\lambda\\&amp;=\lambda(1-\lambda^2)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Finde dafür die Nullstellen des charakteristischen Polynoms</p>


<p>Die erste Nullstelle kannst du direkt am charakteristischen Polynom ablesen</p>


<p>Die restlichen zwei Nullstellen findest du, indem du $\lambda^2=1$ löst.</p>


<p>Die restlichen zwei Nullstellen findest du, indem du <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda^2=1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.38ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2820.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6781-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-6781-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6781-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6781-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6781-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6781-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1264.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6781-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2320.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6781-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> löst.</p>


<p>3. Bestimme die Eigenräume von $A$</p>


<p>3. Bestimme die Eigenräume von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6783-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6783-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Berechne zuerst $\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)$</p>


<p>Berechne zuerst <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.606ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3803.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6784-TEX-N-45" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H597V676Q599 670 611 560T625 444V440H585V444Q584 447 582 465Q578 500 570 526T553 571T528 601T498 619T457 629T411 633T353 634Q266 634 251 633T233 622Q233 622 233 621Q232 619 232 497V376H286Q359 378 377 385Q413 401 416 469Q416 471 416 473V493H456V213H416V233Q415 268 408 288T383 317T349 328T297 330Q290 330 286 330H232V196V114Q232 57 237 52Q243 47 289 47H340H391Q428 47 452 50T505 62T552 92T584 146Q594 172 599 200T607 247T612 270V273H652V270Q651 267 632 137T610 3V0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-6784-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6784-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-45"></use><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-69" transform="translate(681, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-67" transform="translate(959, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1459, -241.4) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2428.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3414.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6784-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)=\ker(A)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>2 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>-6 &amp; -5 &amp; 8 \\</p>
<p>-2 &amp; -2 &amp; 3</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>2 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>0 &amp; -2 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>2 &amp; 0 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p>
<p>=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: 2x_{1}=x_{3}, x_{2}=x_{3}\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_3=2" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6790-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-6790-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6790-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6790-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6790-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6790-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6790-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6790-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p>
<p>=\left\langle\left(\begin{array}{c}1 \\2 \\2\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow \operatorname{geo}\left(\lambda_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}_{A}\left(\lambda_{1}\right)\right)=1=\operatorname{alg}\left(\lambda_{1}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne nun $\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)$</p>


<p>Berechne nun <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.606ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3803.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6793-TEX-N-45" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H597V676Q599 670 611 560T625 444V440H585V444Q584 447 582 465Q578 500 570 526T553 571T528 601T498 619T457 629T411 633T353 634Q266 634 251 633T233 622Q233 622 233 621Q232 619 232 497V376H286Q359 378 377 385Q413 401 416 469Q416 471 416 473V493H456V213H416V233Q415 268 408 288T383 317T349 328T297 330Q290 330 286 330H232V196V114Q232 57 237 52Q243 47 289 47H340H391Q428 47 452 50T505 62T552 92T584 146Q594 172 599 200T607 247T612 270V273H652V270Q651 267 632 137T610 3V0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-6793-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6793-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-45"></use><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-69" transform="translate(681, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-67" transform="translate(959, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1459, -241.4) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2428.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3414.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6793-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)=\ker(A+E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>3 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>-6 &amp; -4 &amp; 8 \\</p>
<p>-2 &amp; -2 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>3 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>0 &amp; -2 &amp; 4 \\</p>
<p>-2 &amp; -2 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 0&amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}</p>
<p>=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}=0, x_{2}=2x_{3}\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_3=1" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6799-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-6799-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6799-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6799-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6799-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6799-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6799-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6799-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p>
<p>=\left\langle\left(\begin{array}{c}0 \\2 \\1\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow \operatorname{geo}\left(\lambda_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}_{A}\left(\lambda_{2}\right)\right)=1=\operatorname{alg}\left(\lambda_{2}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne nun $\operatorname{Eig}_A(\lambda_3)$</p>


<p>Berechne nun <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Eig}_A(\lambda_3)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.606ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3803.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6802-TEX-N-45" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H597V676Q599 670 611 560T625 444V440H585V444Q584 447 582 465Q578 500 570 526T553 571T528 601T498 619T457 629T411 633T353 634Q266 634 251 633T233 622Q233 622 233 621Q232 619 232 497V376H286Q359 378 377 385Q413 401 416 469Q416 471 416 473V493H456V213H416V233Q415 268 408 288T383 317T349 328T297 330Q290 330 286 330H232V196V114Q232 57 237 52Q243 47 289 47H340H391Q428 47 452 50T505 62T552 92T584 146Q594 172 599 200T607 247T612 270V273H652V270Q651 267 632 137T610 3V0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-6802-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6802-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-45"></use><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-69" transform="translate(681, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-67" transform="translate(959, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1459, -241.4) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2428.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3414.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6802-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{Eig}_A(\lambda_3)=\ker(A-E)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>-6 &amp; -6 &amp; 8 \\</p>
<p>-2 &amp; -2 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}=</p>
<p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)}</p>
<p>=\left\{x \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}=-x_2, x_3=0\right\}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_2=1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.846ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 816" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6807-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-6807-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6807-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6807-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6807-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6807-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6807-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6807-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p>
<p>=\left\langle\left(\begin{array}{c}-1 \\1 \\0\end{array}\right)\right\rangle</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow \operatorname{geo}\left(\lambda_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}_{A}\left(\lambda_{3}\right)\right)=1=\operatorname{alg}\left(\lambda_{3}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Da für alle Eigenwerte $\operatorname{geo}\left(\lambda_{i}\right)=\operatorname{alg}\left(\lambda_{i}\right)$ gilt, ist $A$ diagonalisierbar.</p>


<p>Da für alle Eigenwerte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{geo}\left(\lambda_{i}\right)=\operatorname{alg}\left(\lambda_{i}\right)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.418ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7698.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6810-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-6810-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 75 150 51T209 26Q247 26 276 49T315 109Q317 116 318 175Q318 233 317 233Q309 233 296 232T251 223T193 203T147 166T126 106Z"></path><path id="MJX-6810-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-N-67"></use><use 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xlink:href="#MJX-6810-TEX-N-6C" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-N-67" transform="translate(778, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5877.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(6043.8, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(583, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1266, 0)"><use xlink:href="#MJX-6810-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt, ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6811-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6811-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> diagonalisierbar.</p>


<p>Wie sehen die invertierbare Matrix $B$ und die Diagonalmatrix $D$ jetzt aus?</p>

<p>Wie sehen die invertierbare Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6812-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6812-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und die Diagonalmatrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="D" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6813-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6813-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container> jetzt aus?</p>

<p>Konstruiere eine Ähnlichkeitstransformation, die die Matrix</p><p>$A=\left(\begin{array}{ccc}</p><p>2 &amp; 1 &amp; -2 \\</p><p>-6 &amp; -5 &amp; 8 \\</p><p>-2 &amp; -2 &amp; 3</p><p>\end{array}\right)$</p><p>auf Diagonalform transformiert.</p>

<p>Konstruiere eine Ähnlichkeitstransformation, die die Matrix</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\-6 & -5 & 8 \\-2 & -2 & 3\end{array}\right)" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.872ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 9667.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6776-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6776-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Diagonalisierung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Eigenwerte - Diagonalisierung | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Diagonalisieren einer Matrix</h2>
<ol>
<li>Berechne alle Eigenwerte der Matrix $A$.<br /><br /></li>
<li>Bestimme die <strong>algebraische Vielfachheit</strong> der Eigenwerte $\operatorname{alg}(\lambda_i)$. Diese entspricht jeweils der Häufigkeit mit der ein Eigenwert vorliegt.<br /><br /></li>
<li>Ermittel nacheinander die <strong>geometrische Vielfachheit</strong> der Eigenwerte $\operatorname{geo}(\lambda_i)$ und schaue ob $\operatorname{alg}(\lambda_i)=\operatorname{geo}(\lambda_i)$. Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des Eigenraums bzw. der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert.<br /><br /></li>
<li>Falls für alle Eigenwerte $\operatorname{alg}(\lambda_i)=\operatorname{geo}(\lambda_i)$ gilt, so ist die Matrix $A$ diagonalisierbar mit $A=BDB^{-1}$. Die Diagonaleinträge in $D$ sind hierbei die berechneten Eigenwerte $\lambda_1 \ldots \lambda_n$ und die Spalten von $B$ sind die zugehörigen Eigenvektoren.<br />$\Rightarrow D=\left(\begin{array}{cccc}<br />\lambda_{1} &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\<br />0 &amp; \lambda_{2} &amp; \ddots &amp; 0 \\<br />\vdots &amp; \ddots &amp; \ddots &amp; 0 \\<br />0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; \lambda_{n}<br />\end{array}\right)$,       $B=\bigg(v_1\ \ \ v_2 \ \ldots \ v_n \bigg)$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Eigenwerten, Räume und Vektoren</h2>
<ol>
<li>Bestimme das charakteristische Polynom von $A$ über $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E_n)$. Ziehe dazu jeweils ein $\lambda$ von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.</li>
<li>Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.<br />$\chi_{A}(\lambda)=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1, \ldots, \lambda_n$</li>
<li>Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_i)=\operatorname{ker}(A-\lambda_i \cdot E_n)$<br /><em>Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.</em></li>
<li>Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: