Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Diagonalisierung

Diagonalisierung einer Matrix

Definitheit prüfen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{align*}</p><p>R=\left(\begin{array}{cc}0 &amp; 2 \\1 &amp; 1\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>Diagonalisiere als erstes die Matrix:</p><p>$A=\left(\begin{array}{ll}</p><p>2 &amp; 6 \\</p><p>3 &amp; 5</p><p>\end{array}\right)$.</p>

<p>Diagonalisiere als erstes die Matrix:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A=\left(\begin{array}{ll}2 & 6 \\3 & 5\end{array}\right)" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.569ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 5555.6 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6894-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-6894-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-N-36"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-N-35"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2736, 0)"><use xlink:href="#MJX-6894-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>

<p>1. Bestimme das charakteristische Polynom von $A$</p>

<p>1. Bestimme das charakteristische Polynom von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6895-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6895-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}</p><p>\chi_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda E)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}=\det\left(\begin{array}{cc}</p><p>2-\lambda &amp; 6 \\</p><p>3 &amp; 5-\lambda</p><p>\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\chi_{A}(\lambda)}&amp;= (2-\lambda)(5-\lambda)-18\\</p><p>&amp;= \lambda^2-7\lambda-8</p><p>\end{align*}</p>

<p>2. Bestimme die Eigenwerte von $A$</p>

<p>2. Bestimme die Eigenwerte von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6899-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6899-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}</p><p>\lambda_{1,2}&amp;=\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{7}{2}^2+8}\\</p><p>&amp;=\frac{7}{2} \pm \frac{9}{2}</p><p>\end{align*}</p>

<p>$\Rightarrow \lambda_1=-1, \lambda_2=8$</p>

<p>3. Bestimme die Eigenräume von $A$</p>

<p>3. Bestimme die Eigenräume von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6902-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6902-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Berechne zuerst $\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)$</p>

<p>Berechne zuerst <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.606ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3803.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6903-TEX-N-45" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H597V676Q599 670 611 560T625 444V440H585V444Q584 447 582 465Q578 500 570 526T553 571T528 601T498 619T457 629T411 633T353 634Q266 634 251 633T233 622Q233 622 233 621Q232 619 232 497V376H286Q359 378 377 385Q413 401 416 469Q416 471 416 473V493H456V213H416V233Q415 268 408 288T383 317T349 328T297 330Q290 330 286 330H232V196V114Q232 57 237 52Q243 47 289 47H340H391Q428 47 452 50T505 62T552 92T584 146Q594 172 599 200T607 247T612 270V273H652V270Q651 267 632 137T610 3V0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-N-67" d="M329 409Q373 453 429 453Q459 453 472 434T485 396Q485 382 476 371T449 360Q416 360 412 390Q410 404 415 411Q415 412 416 414V415Q388 412 363 393Q355 388 355 386Q355 385 359 381T368 369T379 351T388 325T392 292Q392 230 343 187T222 143Q172 143 123 171Q112 153 112 133Q112 98 138 81Q147 75 155 75T227 73Q311 72 335 67Q396 58 431 26Q470 -13 470 -72Q470 -139 392 -175Q332 -206 250 -206Q167 -206 107 -175Q29 -140 29 -75Q29 -39 50 -15T92 18L103 24Q67 55 67 108Q67 155 96 193Q52 237 52 292Q52 355 102 398T223 442Q274 442 318 416L329 409ZM299 343Q294 371 273 387T221 404Q192 404 171 388T145 343Q142 326 142 292Q142 248 149 227T179 192Q196 182 222 182Q244 182 260 189T283 207T294 227T299 242Q302 258 302 292T299 343ZM403 -75Q403 -50 389 -34T348 -11T299 -2T245 0H218Q151 0 138 -6Q118 -15 107 -34T95 -74Q95 -84 101 -97T122 -127T170 -155T250 -167Q319 -167 361 -139T403 -75Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-6903-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6903-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-45"></use><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-69" transform="translate(681, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-67" transform="translate(959, 0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1459, -241.4) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2039.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2428.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3414.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6903-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}</p><p>\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)=\ker(A+E)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p><p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p><p>3&amp;6 \\</p><p>3&amp;6</p><p>\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p><p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p><p>1&amp;2 \\</p><p>0&amp;0</p><p>\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p><p>=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}=-2x_{2}\right\}</p><p>\end{align*}</p>

<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_2=1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.846ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 816" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6908-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-6908-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6908-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6908-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6908-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6908-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6908-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6908-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p><p>=\left\langle\left(\begin{array}{c}-2 \\1\end{array}\right)\right\rangle</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\Rightarrow \operatorname{geo}\left(\lambda_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}_{A}\left(\lambda_{1}\right)\right)=1=\operatorname{alg}\left(\lambda_{1}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>Berechne jetzt $\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)$</p>

<p>Berechne jetzt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.606ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3803.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6911-TEX-N-45" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H597V676Q599 670 611 560T625 444V440H585V444Q584 447 582 465Q578 500 570 526T553 571T528 601T498 619T457 629T411 633T353 634Q266 634 251 633T233 622Q233 622 233 621Q232 619 232 497V376H286Q359 378 377 385Q413 401 416 469Q416 471 416 473V493H456V213H416V233Q415 268 408 288T383 317T349 328T297 330Q290 330 286 330H232V196V114Q232 57 237 52Q243 47 289 47H340H391Q428 47 452 50T505 62T552 92T584 146Q594 172 599 200T607 247T612 270V273H652V270Q651 267 632 137T610 3V0H25V46H58Q100 47 109 49T128 61V619Z"></path><path id="MJX-6911-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 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transform="translate(2428.3, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6911-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(583, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6911-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3414.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6911-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}</p><p>\operatorname{Eig}_A(\lambda_2)=\ker(A-8E)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p><p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p><p>-6&amp;6 \\</p><p>3&amp;-3</p><p>\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}=</p><p>\ker\left(\begin{array}{ccc}</p><p>1&amp;-1 \\</p><p>0&amp;0</p><p>\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p><p>=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}=x_{2}\right\}</p><p>\end{align*}</p>

<p>Wähle zum Beispiel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_2=1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.355ex" height="1.846ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2809.1 816" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6916-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-6916-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6916-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6916-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6916-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6916-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6916-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6916-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align*}</p><p>\phantom{\operatorname{Eig}_A(\lambda_1)}</p><p>=\left\langle\left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array}\right)\right\rangle</p><p>\end{align*}</p>

<p>\begin{align*}</p><p>\Rightarrow \operatorname{geo}\left(\lambda_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}_{A}\left(\lambda_{2}\right)\right)=1=\operatorname{alg}\left(\lambda_{2}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>$A$ ist also diagonalisierbar.</p><p>Wie sehen die invertierbare Matrix $B$ und die Diagonalmatrix $D$ jetzt aus?</p>

<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6919-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6919-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist also diagonalisierbar.</p><p>Wie sehen die invertierbare Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="B" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6920-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6920-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und die Diagonalmatrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="D" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6921-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6921-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container> jetzt aus?</p>

<p>$B=\left(\begin{array}{cc}-2 &amp; 1 \\1 &amp; 1\end{array}\right)$,</p><p>$D=\left(\begin{array}{cc}-1 &amp; 0 \\0 &amp; 8\end{array}\right)$</p>

<p>Es gilt also $R^3=A=BDB^{-1}$.</p><p>Wie kannst du jetzt $R$ berechnen?</p>

<p>Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R^3=A=BDB^{-1}" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.827ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 7879.3 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6924-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-6924-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(759, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1440.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2496.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3523.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4579.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5338.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-I-1D437"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6166.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(759, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-6924-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p><p>Wie kannst du jetzt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 704" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6925-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 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berechnen?</p>

<p>Nutze $R=BD^{1/3}B^{-1}$ mit $B^{-1} = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2\end{array}\right)$:</p>

<p>Nutze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R=BD^{1/3}B^{-1}" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.712ex" height="2.207ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -893.3 6502.9 975.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6926-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 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52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-6926-TEX-I-1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path><path id="MJX-6926-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6926-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 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0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(759, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1990.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3046.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-33"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(3839.8, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3514, 0)"><use xlink:href="#MJX-6927-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>

<p>\begin{align*}</p><p>R&amp;=BD^{1/3}B^{-1}\\</p><p>&amp;=\left(\begin{array}{cc}-2 &amp; 1 \\1 &amp; 1\end{array}\right)</p><p>\left(\begin{array}{cc}-1 &amp; 0 \\0 &amp; 2\end{array}\right)</p><p>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-1 &amp; 1 \\1 &amp; 2\end{array}\right)\\</p><p>&amp;=\left(\begin{array}{cc}0 &amp; 2 \\1 &amp; 1\end{array}\right)</p><p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme die reelle Matrix $R$ aus</p><p> </p><p>$R^{3}=\left(\begin{array}{ll}</p><p>2 &amp; 6 \\</p><p>3 &amp; 5</p><p>\end{array}\right)$</p><p> </p><p><em>Nutze eine invertierbare Matrix $B$ und eine Diagonalmatrix $D$</em></p>

<p>Bestimme die reelle Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R" style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 704" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6890-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6890-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container> aus</p><p> </p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="R^{3}=\left(\begin{array}{ll}2 & 6 \\3 & 5\end{array}\right)" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.503ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 5968.1 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6891-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6891-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(759, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6891-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1440.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6891-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2496.1, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6891-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6891-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6891-TEX-N-36"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use 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275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6893-TEX-I-1D437"></use></g></g></g></svg></mjx-container></em></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Diagonalisierung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Eigenwerte - Diagonalisierung | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Diagonalisieren einer Matrix</h2>
<ol>
<li>Berechne alle Eigenwerte der Matrix $A$.<br /><br /></li>
<li>Bestimme die <strong>algebraische Vielfachheit</strong> der Eigenwerte $\operatorname{alg}(\lambda_i)$. Diese entspricht jeweils der Häufigkeit mit der ein Eigenwert vorliegt.<br /><br /></li>
<li>Ermittel nacheinander die <strong>geometrische Vielfachheit</strong> der Eigenwerte $\operatorname{geo}(\lambda_i)$ und schaue ob $\operatorname{alg}(\lambda_i)=\operatorname{geo}(\lambda_i)$. Die geometrische Vielfachheit entspricht der Dimension des Eigenraums bzw. der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert.<br /><br /></li>
<li>Falls für alle Eigenwerte $\operatorname{alg}(\lambda_i)=\operatorname{geo}(\lambda_i)$ gilt, so ist die Matrix $A$ diagonalisierbar mit $A=BDB^{-1}$. Die Diagonaleinträge in $D$ sind hierbei die berechneten Eigenwerte $\lambda_1 \ldots \lambda_n$ und die Spalten von $B$ sind die zugehörigen Eigenvektoren.<br />$\Rightarrow D=\left(\begin{array}{cccc}<br />\lambda_{1} &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\<br />0 &amp; \lambda_{2} &amp; \ddots &amp; 0 \\<br />\vdots &amp; \ddots &amp; \ddots &amp; 0 \\<br />0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; \lambda_{n}<br />\end{array}\right)$,       $B=\bigg(v_1\ \ \ v_2 \ \ldots \ v_n \bigg)$</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Eigenwerten, Räume und Vektoren</h2>
<ol>
<li>Bestimme das charakteristische Polynom von $A$ über $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E_n)$. Ziehe dazu jeweils ein $\lambda$ von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.</li>
<li>Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.<br />$\chi_{A}(\lambda)=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1, \ldots, \lambda_n$</li>
<li>Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_i)=\operatorname{ker}(A-\lambda_i \cdot E_n)$<br /><em>Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.</em></li>
<li>Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: