Gauß-Jordan-Algorithmus

Inverse mittels Gauß-Jordan-Algorithmus

Alternativ zum Gauß-Jordan-Verfahren gibt es die Möglichkeit die Inverse mittels Determinanten zu bestimmen. Dieses Verfahren bietet sich insbesondere für Matrizen mit $n \leq 3$ an.

Inverse mittels Adjunkte (Determinantenrechnung)

Alternativ zum Gauß-Jordan-Verfahren gibt es die Möglichkeit die Inverse mittels Determinanten zu bestimmen. Dieses Verfahren bietet sich insbesondere für Matrizen mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \leq 3" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.817ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2433.6 803" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-31-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-31-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-31-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-31-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-31-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> an.

Inverse mittels Adjunkter bestimmen (Determinantenberechnung)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

$$\begin{align*}A^{-1}=\frac{1}{31}\left(\begin{array}{cccc}
-5 &amp; 4 &amp; 7 &amp; -3 \\
22 &amp; 1 &amp; -6 &amp; -24 \\
-8 &amp; -6 &amp; 5 &amp; 20 \\
16 &amp; 12 &amp; -10 &amp; -9
\end{array}\right)\end{align*}$$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}A^{-1}=\frac{1}{31}\left(\begin{array}{cccc}
-5 & 4 & 7 & -3 \\
22 & 1 & -6 & -24 \\
-8 & -6 & 5 & 20 \\
16 & 12 & -10 & -9
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.779ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 15372.2 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-150-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-150-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-150-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 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143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-150-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-150-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-150-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path 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$1$. Bilde die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A\vert E_n)$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-142-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-142-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Bilde die erweiterte Koeffizientenmatrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(A\vert E_n)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.903ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3051.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-143-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-143-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-143-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-143-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path><path id="MJX-143-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-143-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-143-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-143-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1139,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-143-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1417,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-143-TEX-I-1D438"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(771,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-143-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2662.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-143-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

$$\begin{align*}
(A\vert E_n)=
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 2 &amp;0&amp;1&amp;0&amp;0\\
4 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 0 &amp;0&amp;0&amp;1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp;0&amp;0&amp;0&amp;1
\end{array}\right)
\end{align*}$$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
(A\vert E_n)=
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 2 & 3 & 1 &1&0&0&0\\
2 & -1 & 0 & 2 &0&1&0&0\\
4 & 2 & 3 & 0 &0&0&1&0\\
0 & 0 & 2 & 1 &0&0&0&1
\end{array}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="40.685ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 17982.8 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-144-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-144-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 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$2$. Verwende elementare Zeilenumformungen, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-145-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-145-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Verwende elementare Zeilenumformungen, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht

Bilden der Nulleinträge in der linken unteren Ecke

$$\begin{align*}
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 2 &amp;0&amp;1&amp;0&amp;0\\
4 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 0 &amp;0&amp;0&amp;1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp;0&amp;0&amp;0&amp;1
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
0&amp; -5 &amp; -6 &amp; 0 &amp;-2&amp;1&amp;0&amp;0\\
0 &amp; -6 &amp; -9 &amp; -4 &amp;-4&amp;0&amp;1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp;0&amp;0&amp;0&amp;1
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
0&amp; 1 &amp; 3 &amp; 4 &amp;2&amp;1&amp;-1&amp;0\\
0 &amp; -6 &amp; -9 &amp; -4 &amp;-4&amp;0&amp;1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp;0&amp;0&amp;0&amp;1
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
0&amp; 1 &amp; 3 &amp; 4 &amp;2&amp;1&amp;-1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 9 &amp; 20 &amp;8&amp;6&amp;-5&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp;0&amp;0&amp;0&amp;1
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
0&amp; 1 &amp; 3 &amp; 4 &amp;2&amp;1&amp;-1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 16 &amp;8&amp;6&amp;-5&amp;-4\\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1 &amp;0&amp;0&amp;0&amp;1
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
0&amp; 1 &amp; 3 &amp; 4 &amp;2&amp;1&amp;-1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 16 &amp;8&amp;6&amp;-5&amp;-4\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; -31 &amp;-16&amp;-12&amp;10&amp;9
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp;1&amp;0&amp;0&amp;0\\
0&amp; 1 &amp; 3 &amp; 4 &amp;2&amp;1&amp;-1&amp;0\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 16 &amp;8&amp;6&amp;-5&amp;-4\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp;\frac{16}{31}&amp;\frac{12}{31}&amp;-\frac{10}{31}&amp;-\frac{9}{31}
\end{array}\right)
\end{align*}$$

Bilden der Nulleinträge in der rechten oberen Ecke

$$\begin{align*}
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 0 &amp;\frac{15}{31}&amp;-\frac{12}{31}&amp;\frac{10}{31}&amp;\frac{9}{31}\\
0&amp; 1 &amp; 3 &amp; 0 &amp;-\frac{2}{31}&amp;-\frac{17}{31}&amp;\frac{9}{31}&amp;\frac{36}{31}\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp;-\frac{8}{31}&amp;-\frac{6}{31}&amp;\frac{5}{31}&amp;\frac{20}{31}\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp;\frac{16}{31}&amp;\frac{12}{31}&amp;-\frac{10}{31}&amp;-\frac{9}{31}
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; 0 &amp;\frac{39}{31}&amp;\frac{6}{31}&amp;-\frac{5}{31}&amp;-\frac{51}{31}\\
0&amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp;\frac{22}{31}&amp;\frac{1}{31}&amp;-\frac{6}{31}&amp;-\frac{24}{31}\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp;-\frac{8}{31}&amp;-\frac{6}{31}&amp;\frac{5}{31}&amp;\frac{20}{31}\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp;\frac{16}{31}&amp;\frac{12}{31}&amp;-\frac{10}{31}&amp;-\frac{9}{31}
\end{array}\right)\\\\
\rightarrow
&amp;\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp;-\frac{5}{31}&amp;\frac{4}{31}&amp;\frac{7}{31}&amp;-\frac{3}{31}\\
0&amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp;\frac{22}{31}&amp;\frac{1}{31}&amp;-\frac{6}{31}&amp;-\frac{24}{31}\\
0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp;-\frac{8}{31}&amp;-\frac{6}{31}&amp;\frac{5}{31}&amp;\frac{20}{31}\\
0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp;\frac{16}{31}&amp;\frac{12}{31}&amp;-\frac{10}{31}&amp;-\frac{9}{31}
\end{array}\right)
\end{align*}$$

$3$. Die Inverse ist dann die rechte Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-148-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-148-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Die Inverse ist dann die rechte Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}A^{-1}=\frac{1}{31}\left(\begin{array}{cccc}
-5 & 4 & 7 & -3 \\
22 & 1 & -6 & -24 \\
-8 & -6 & 5 & 20 \\
16 & 12 & -10 & -9
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.779ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 15372.2 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-149-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-149-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-149-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-149-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-149-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-149-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-149-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-149-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path 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data-c="30" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-2100)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(139,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-31"></use><use data-c="36" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-36" transform="translate(500,0)"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2417,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-31"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4556,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7584,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="39" xlink:href="#MJX-149-TEX-N-39"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9987,0)"><use data-c="239E" xlink:href="#MJX-149-TEX-S4-239E" transform="translate(0,1696)"></use><use data-c="23A0" xlink:href="#MJX-149-TEX-S4-23A0" transform="translate(0,-1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" viewBox="0 402.4 875 1782"><use data-c="239F" xlink:href="#MJX-149-TEX-S4-239F" transform="scale(1,4.311)"></use></svg></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bestimme, falls möglich, die Inverse $A^{-1}$ der folgenden Matrix:
$$\begin{align*}A=\left(\begin{array}{cccc}
1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 \\
2 &amp; -1 &amp; 0 &amp; 2 \\
4 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 0 \\
0 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 1
\end{array}\right)\end{align*}$$

Bestimme, falls möglich, die Inverse <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A^{-1}" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.929ex" height="1.887ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1736.7 833.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-140-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-140-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-140-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-140-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-140-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-140-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> der folgenden Matrix:
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Gauß-Jordan-Algorithmus mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Inverse berechnen - Gauß-Jordan-Algorithmus | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: