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Aufgabenstellung:

Bestimme den Rang der -Matrix in Abhängigkeit von :

 

Lösungsweg:

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Bringe die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform:

Für Nullen in der ersten Spalte addiere das -fache der 1 .Zeile zur 2 .Zeile und das -fache der 1 .Zeile zur 3 .Zeile:

Addiere das -fache der Zeile zur Zeile, um die finale Zeilenstufenform zu erhalten:

Untersuche nun den Rang der Matrix durch passende Fallunterscheidungen:

Überlege: Wann wird die letze Zeile zu einer Nullzeile?

Der untere rechte Eintrag wird für oder zu Null. Die Matrix hat den vollen Rang also nur für den Fall das und .

Untersuche nun die beiden Fälle und einzeln. Für gilt:

Zusätzlich zu der letzten Zeile wird die zweite Zeile zu einer Nullzeile. Die Matrix hat somit nur eine Nichtnullzeile und der Rang ist .

Untersuche :

Es verschwindet lediglich die letzte Zeile. Auf Stufe 2 erhälst du den Wert 2.

Fasse deine Ergebnisse zusammen:

Lösung: