Matrix invertieren

Inverse einer Matrix

Darstellungsmatrizen

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Addition und Multiplikation von Matrizen

Das Transponieren einer Matrix ist ein weiteres Grundwerkzeug zum Rechnen mit Matrizen. Viele Operationen kannst du mit der Bildung der transponierten Matrix vertauschen oder vereinfachen.

Transponieren

Matrix transponieren

Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

Rang

Rang einer Matrix ermitteln

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor $x$ multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild

Die Menge an Lösungen die man erhält wenn man eine Matrix mit jedem beliebigen Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> multipliziert, wird als Bild der Matrix bezeichnet. Somit ist das Bild mehr oder weniger die Wertemenge einer Matrix.

Bild einer Matrix

Der Kern einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, welche bei einer Multiplikation mit ihr zu Null werden. Der Defekt gibt weiter an, aus wie vielen linear unabhängigen Vektoren dein Kern besteht.

Kern und Defekt

Kern einer Matrix

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$$\begin{align*}A^{T}=\left(\begin{array}{rr}</p>
<p>1 &amp; -5 \\</p>
<p>-2 &amp; 6 \\</p>
<p>3 &amp; 7 \\</p>
<p>4 &amp; -8</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Die Transponierte erhälst du, indem du die Zeilen und Spalten der Matrix vertauschst.</p>


<p>$$\begin{align*} \quad \ \ \ \, A=\left(\begin{array}{rrrr}</p>
<p>\color{#5FAFD2}{1} &amp; \color{#5FAFD2}{-2} &amp; \color{#5FAFD2}{3} &amp;\color{#5FAFD2}{ 4} \\</p>
<p>\color{#AAC869}{-5} &amp; \color{#AAC869}{6} &amp; \color{#AAC869}{7} &amp; \color{#AAC869}{-8}</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>
<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow A^{T}=\left(\begin{array}{rr}</p>
<p>\color{#5FAFD2}{1} &amp; \color{#AAC869}{-5} \\</p>
<p>\color{#5FAFD2}{-2} &amp; \color{#AAC869}{6} \\</p>
<p>\color{#5FAFD2}{3} &amp; \color{#AAC869}{7} \\</p>
<p>\color{#5FAFD2}{4} &amp; \color{#AAC869}{-8}</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Transponiere die folgende $2 \times 4$-Matrix.</p>
<p>$$\begin{align*}A=\left(\begin{array}{rrrr}</p>
<p>1 &amp; -2 &amp; 3 &amp; 4 \\</p>
<p>-5 &amp; 6 &amp; 7 &amp; -8</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>

<p>Transponiere die folgende <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2 \times 4" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2222.4 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-641-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-641-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-641-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-641-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJX-641-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-641-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}A=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 3 & 4 \\
-5 & 6 & 7 & -8
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.637ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 10889.6 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-642-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-642-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-642-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-642-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-642-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-642-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Transponieren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Matrizenrechnung - Grundlagen - Transponieren | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: