dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Bidualräume

Dualräume

Direkte Summe 

Untervektorraum prüfen

Untervektorraum

Linearkombination, Lineare Hüllen

Lineare Unabhängigkeit

Lineare Unabhängigkeit prüfen

Erzeugendensystem, Basis

Erzeugendensystem und Basis

Vektoren in neuer Basis darstellen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$$ u \in\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle, \quad v \notin \left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle$$</p>
<p>$$ u=a_1+a_2-3a_4$$</p>

<p>Damit $u \in \left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle$ existiert muss jeweils die Linearkombination $\lambda_{1} a_{1}+\lambda_{2} a_{2}+\lambda_{3} a_{3}+\lambda_{4} a_{4}=u$ bzw. $\lambda_{1} a_{1}+\lambda_{2} a_{2}+\lambda_{3} a_{3}+\lambda_{4} a_{4}=v$ eine Lösung mit $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}\in \mathbb{R}$ existieren.</p>


<p>Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A\vert u \,v)$ auf und prüfe jeweils die Lösbarkeit der Gleichungssysteme</p>


<p>Stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(A\vert u \,v)" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.855ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3030 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-273-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-273-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-273-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-273-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-273-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-273-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-273-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-273-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1139,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-273-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1417,0)"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-273-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(1989,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2156,0)"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-273-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2641,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-273-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf und prüfe jeweils die Lösbarkeit der Gleichungssysteme</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>(A\vert u| \,v)=</p>
<p>\left(\begin{array}{cccc|c|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 6 &amp; 1 \\</p>
<p>1 &amp; 1 &amp; -1 &amp; 2 &amp; -4 &amp; 3 \\</p>
<p>-1 &amp; 0 &amp; 2 &amp; -1 &amp; 2 &amp; -1 \\</p>
<p>-2 &amp; 3 &amp; 7 &amp; 1 &amp; -2 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{(A\vert u \,v)}</p>
<p>\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 6 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; -1 &amp; 3 &amp; -10 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 2 &amp; 2 &amp; -2 &amp; 8 &amp; 0 \\</p>
<p>0 &amp; 7 &amp; 7 &amp; -1 &amp; 10 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{(A\vert u \,v)}</p>
<p>\rightarrow&amp;\left(\begin{array}{cccc|c|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 6 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; -1 &amp; 3 &amp; -10 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 4 &amp; -12 &amp; 4 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 20 &amp; -60 &amp; 18</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\phantom{(A\vert u \,v)}\rightarrow</p>
<p>\left(\begin{array}{cccc|c|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 6 &amp; 1 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; -1 &amp; 3 &amp; -10 &amp; 2 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 4 &amp; -12 &amp; 4 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; -2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>$\Rightarrow A \lambda = u$ ist also lösbar und $A \lambda = v$ ist nicht lösbar.</p>
<p>$\Rightarrow u \in\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle, \quad v \notin \left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle$</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Rightarrow A \lambda = u" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.218ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 4516.3 798" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-278-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-278-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-278-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-278-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-278-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Rightarrow u \in\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle, \quad v \notin \left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\rangle" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="41.115ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 18173 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-280-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-280-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 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154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-282-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-282-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-282-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(965.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1410.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-282-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2375.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2820.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-282-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3786,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4230.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-282-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-282-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> dar.</p>


<p>Löse dafür das durch die erweiterte Koeffizientenmatrix gegebene lineare Gleichungssystem.</p>


<p>$$\begin{align*} \\</p>
<p>\left(\begin{array}{cccc|c}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; -1 &amp; 6 \\</p>
<p>0 &amp; -1 &amp; -1 &amp; 3 &amp; -10 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 4 &amp; -12 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}$$</p>


<p>Es folgt aus der $3$. Zeile $\lambda_4 = -3$. Für $\lambda_3$ kannst du einen Parameter $s \in \mathbb{R}$ einführen und diesen anschließend zu Null setzen $\lambda_3=s=0.$ Betrachte nun die Gleichungen von Zeile $2$ und $3$:</p>


<p>Es folgt aus der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-284-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-284-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Zeile <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_4 = -3" style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.215ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3631.1 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-285-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-285-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-285-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2353.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3131.1,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-285-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_3" style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.307ex" height="1.945ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1019.6 859.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-286-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-286-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-286-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-286-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> kannst du einen Parameter <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="s \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.461ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2413.6 723" 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317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-287-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(746.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-287-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1691.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-287-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> einführen und diesen anschließend zu Null setzen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\lambda_3=s=0." style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.162ex" height="1.945ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4933.7 859.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-288-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 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id="MJX-288-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-288-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-288-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-288-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-288-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(616,-150) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-288-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1297.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-288-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2353.1,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-288-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3099.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-288-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4155.7,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-288-TEX-N-30"></use><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-288-TEX-N-2E" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Betrachte nun die Gleichungen von Zeile <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2" style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-289-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-289-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-290-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-290-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>$$\begin{alignat*}{3}</p>
<p>\lambda_{1}+2 \lambda_{2}-1 \cdot \lambda_4&amp;=6 \\\\</p>
<p>-\lambda_{2}-\lambda_{3}+3 \cdot \lambda_4&amp;=-10 \\\\</p>
<p>\lambda_{3}&amp;=0 \\\\</p>
<p>\lambda_{4}&amp;=-3</p>
<p>\end{alignat*}$$</p>


<p>$$\begin{align*}</p>
<p>\Rightarrow \quad\begin{array}{l}</p>
<p>\lambda_{1}=1 \\</p>
<p>\lambda_{2}=1 \\</p>
<p>\lambda_{3}=0 \\</p>
<p>\lambda_{4}=-3</p>
<p>\end{array}</p>
<p>\end{align*}$$</p>


<p>Setze deine Ergebnisse in die Linearkombination $u=\lambda_{1} a_{1}+\lambda_{2} a_{2}+\lambda_{3} a_{3}+\lambda_{4} a_{4}$ ein:</p>


<p>Setze deine Ergebnisse in die Linearkombination <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="u=\lambda_{1} a_{1}+\lambda_{2} a_{2}+\lambda_{3} a_{3}+\lambda_{4} a_{4}" style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.573ex" height="1.945ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 13513.3 859.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-293-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 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transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4112.9,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5113.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-293-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(6132.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-293-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7320.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8320.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-293-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(9340.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-293-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10528,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(11528.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-293-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(12547.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-293-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-293-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ein:</p>


<p>Es seien die Vektoren $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ mit</p>
<p>$$ \quad\begin{align*}</p>
<p>a_{1}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\1 \\-1 \\-2</p>
<p>\end{array}\right), \quad a_{2}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>2 \\1 \\0 \\3</p>
<p>\end{array}\right), \quad a_{3}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\-1 \\2 \\7</p>
<p>\end{array}\right), \quad a_{4}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\2 \\-1 \\1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>
<p>gegeben.</p>
<p>Prüfe ob die folgenden Vektoren $u, v$</p>
<p>$$\quad\begin{align*}</p>
<p>u=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>6 \\-4 \\2 \\-2</p>
<p>\end{array}\right), \quad v=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\3 \\-1 \\2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}$$</p>
<p>als Linearkombinationen von $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ darstellbar sind und berechne ggf, diese Darstellung.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Linearkombination, Lineare Hüllen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: