Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-44-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" 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d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D449"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Orthogonale Projektion

Vektor aus Bedingungen ableiten

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Nutze $\alpha=\arccos \left(\frac{a \cdot b}{|a||b|}\right)$ und für die Beträge die Formel $|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}$</p>


<p>Nutze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\alpha=\arccos \left(\frac{a \cdot b}{|a||b|}\right)" style="vertical-align: -1.469ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.9ex" height="4.07ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1149.5 7911.9 1799" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 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xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(850,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1405.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(2461.6,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,353.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-297.3) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" 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<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\alpha&amp;=\arccos \left(\frac{a \cdot b}{\|a\|\|b\|}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=\arccos \left( \frac{\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\</p>
<p>11 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>3 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}</p>
<p>3 \\</p>
<p>11 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)\right| \left|\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\</p>
<p>-5 \\</p>
<p>3 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)\right|} \right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\arccos \left(\frac{3 \cdot(-1)+11 \cdot(-5)+-5 \cdot 3+1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2}+11^{2}+(-5)^{2}+1^{2}} \sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}+3^{2}+1^{2}}}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\arccos \left(-\frac{72}{6 \sqrt{156}}\right) \\ \\</p>
<p>&amp;=\arccos \left(-\frac{12}{\sqrt{156}}\right) \\\\</p>
<p>&amp;\approx 2,86</p>
<p>\end{align*}\]</p>


<p>Rechne dein Ergebnis in Grad um: </p>


<p>\[\begin{align*} \alpha\cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} &amp;=\arccos \left(-\frac{12}{\sqrt{156}}\right) \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} \\\\ &amp; \approx 163,90^{\circ} \end{align*}\]</p>

<p>Bestimme den Winkel in Grad zwischen den beiden Vektoren</p>
<p>$$b=\left(\begin{array}{c}3 \\ 11 \\ -5 \\ 1\end{array}\right), c=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -5 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)$$</p>

<p>Bestimme den Winkel in Grad zwischen den beiden Vektoren</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="b=\left(\begin{array}{c}3 \\ 11 \\ -5 \\ 1\end{array}\right), c=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -5 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)" style="vertical-align: -5.317ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.692ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 10029.8 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-1-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-1-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Skalarprodukte, Kreuzprodukt, Orthogonalität - Winkel, Länge, Fläche, 

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: