Exakte DGL

Trennung der Variablen (Separation)

Trennung der Variablen

Anfangswertproblem

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf 

Bernoullische DGL

Riccatti-DGL

Riccatische DGL

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

\[ x(t)=\pm \sqrt{c \mathrm{e}^{t / 2}+t^{2}+4 t+9}, c \in \mathbb{R} \]

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x(t)=\pm \sqrt{c \mathrm{e}^{t / 2}+t^{2}+4 t+9}, c \in \mathbb{R}
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Dies ist eine Bernoulli'sche DGL:

$\dot{x}=a(t) x+b(t) x^{\alpha}$
mit $a(t)=\frac{1}{4}, \ \ b(t)=-\frac{1}{4}\left(t^{2}+1\right)\ \ , \alpha=-1$

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\dot{x}=a(t) x+b(t) x^{\alpha}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.123ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8010.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11602-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path 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Die Lösung der homogenen DGL ist:

\[z_{h}(t)=c \mathrm{e}^{t / 2}, c \in \mathbb{R}\]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z_{h}(t)=c \mathrm{e}^{t / 2}, c \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.34ex" height="2.7ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -943.3 8106.4 1193.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11606-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path 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Variation der Konstanten für die inhomogene Lösung:

Ansatz $z_{p}(t)=c(t) \mathrm{e}^{t / 2}$

Ansatz <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z_{p}(t)=c(t) \mathrm{e}^{t / 2}" style="vertical-align: -0.65ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.415ex" height="2.671ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -893.3 6371.6 1180.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11607-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-11607-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 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-14T94 250Z"></path><path id="MJX-11607-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-11607-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11607-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 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\begin{align*}\dot{c} \mathrm{e}^{t / 2}+\frac{1}{2} c \mathrm{e}^{t / 2}-\frac{1}{2} c \mathrm{e}^{t / 2}&amp;=-\frac{1}{2}\left(1+t^{2}\right)\\
\Rightarrow \dot{c}(t)&amp;=-\frac{1+t^{2}}{2} \mathrm{e}^{-t / 2}\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\dot{c} \mathrm{e}^{t / 2}+\frac{1}{2} c \mathrm{e}^{t / 2}-\frac{1}{2} c \mathrm{e}^{t / 2}&=-\frac{1}{2}\left(1+t^{2}\right)\\
\Rightarrow \dot{c}(t)&=-\frac{1+t^{2}}{2} \mathrm{e}^{-t / 2}\end{align*}" style="vertical-align: -4.552ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="38.825ex" height="10.235ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2512 17160.7 4523.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11608-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-11608-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-11608-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 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Integriere $\dot{c}(t)$ mit doppelter partieller Integration:

Integriere <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\dot{c}(t)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.834ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1694.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11609-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-11609-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-11609-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11609-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-11609-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" transform="translate(33.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-11609-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(55.6, -47)"><use xlink:href="#MJX-11609-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(555.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11609-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(944.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11609-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1305.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11609-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit doppelter partieller Integration:

\begin{aligned} c(t) &amp;=\int-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-t / 2}-\frac{t^{2}}{2} \mathrm{e}^{-t / 2} \mathrm{d} t\\
&amp;=\mathrm{e}^{-t / 2}+t^{2} \mathrm{e}^{-t / 2}-\int 2 t \mathrm{e}^{-t / 2} \mathrm{d} t \\ &amp;=\left(1+t^{2}\right) \mathrm{e}^{-t / 2}-\left(-4 t \mathrm{e}^{-t / 2}+\int 4 \mathrm{e}^{-t / 2} \mathrm{d} t\right)\\
&amp;=\left(t^{2}+4 t+9\right) \mathrm{e}^{-t / 2} \end{aligned}

Somit ist $z_{p}(t)=t^{2}+4 t+9$ eine partikuläre Lösung.

Somit ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z_{p}(t)=t^{2}+4 t+9" style="vertical-align: -0.65ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.904ex" height="2.536ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 7913.7 1121.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11611-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-11611-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-11611-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 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133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-11611-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-11611-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-11611-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-11611-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11611-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use 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transform="translate(5830.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11611-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6413.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-11611-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7413.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11611-TEX-N-39"></use></g></g></g></svg></mjx-container> eine partikuläre Lösung.

\[ z(t)=c \mathrm{e}^{t / 2}+t^{2}+4 t+9, c \in \mathbb{R} \]

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z(t)=c \mathrm{e}^{t / 2}+t^{2}+4 t+9, c \in \mathbb{R}
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\[x^{2}(t)=c \mathrm{e}^{t / 2}+t^{2}+4 t+9\]

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xlink:href="#MJX-11613-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(444, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(361, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(861, 0)"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5559.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6559.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(361, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7546.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11613-TEX-N-2B"></use></g><g 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Somit ergibt sich als Lösung der DGL:

Löse die folgende DGL: \[4 x \dot{x}-x^{2}+1+t^{2}=0\]

Löse die folgende DGL: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="4 x \dot{x}-x^{2}+1+t^{2}=0" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.233ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 9385 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11601-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-11601-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Bernoullische DGL mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Nicht lineare DGL - Bernoullische DGL | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL</h2>
Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form: $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$

<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL</h2>
Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.605ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 11759.3 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-761-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 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<h2 class="content_heading">Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht</h2>
Separierbare DGL 1. Ordnung 
Form: $y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
$$\int \frac{1}{g(y)} d y=\int f(x) d x$$
 
Durch Substitution lösbare DGL Form: $\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{f}(\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c})$ mit $b \neq 0$ Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere: $u=a x+b y+c$, somit ist $y^{\prime}=f(u)$ Dann ist $u^{\prime}=\frac{d u}{d x}=a+b \frac{d y}{d x}=1 \cdot(a+b \cdot f(u))$ Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von $u(x)$. Die Rücksubstitution liefert dir dann $y(x)$
 
<h2 class="content_heading">Lineare DGLs</h2>
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus  1. der allgemeinen Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})$ der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung $\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$ der inhomogenen DGL zusammen:  $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$
 
Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=0$ Die allgemeine Lösung lautet:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{F}(\mathrm{x})}$, wobei $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$ und $\mathrm{C} \in \mathrm{R}$.
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: $\mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{y}=\mathrm{b}(\mathrm{x})$ Lösung durch Variation der Konstanten:
$\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{c}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{A}(\mathrm{x})}$, wobei $c(x)=\int b(x) \cdot e^{+A(x)} d x$ und $\mathrm{A}(\mathrm{x})=\int \mathrm{a}(\mathrm{x}) \mathrm{d} \mathrm{x}$
 
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form: $y^{\prime}+a_{0} y=g(x)$, wobei $a_{0}=konstant$ Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
$\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{a}_{0} \mathrm{x}}$
 
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 
<ol>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots+b_{n} x^{n}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{o}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots+c_{n} x^{n}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha \neq-\mathrm{a}_{\mathrm{o}}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b \cdot e^{\alpha x}$ und $\alpha=-a_{0}$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=c \cdot x \cdot e^{\alpha x}$ </li>
<li>Wenn $g(x)$ von der Form: $b_{1} \cdot \sin (\beta x)+b_{2} \cdot \cos (\beta x)$ Ansatz: $\mathbf{y}_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})= c_{1} \cdot \sin (\beta x)+c_{2} \cdot \cos (\beta x)$</li>
</ol>
Die allgemeine Lösung ist dann: $\mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})+\mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x})$

<h2 class="content_sub_heading">Bernoullische DGL (allgemeine Lösung)</h2>
Für die allgemeine Lösung kannst du wie folgt vorgehen:
<ol>
<li>Führe zuerst eine neue Variable $z=y^{1-\alpha}$ ein. </li>
<li>Setze diese Variable $z$ in deine Bernoullische DGL ein. Nach einigem Umformen* solltest du Folgendes erhalten: $z^{\prime}+(1-\alpha) \cdot g(x) \cdot z+(1-\alpha) \cdot h(x)=0$ </li>
<li>Stelle diese transformierte DGL nun folgendermaßen um:  $z^{\prime}+(1-\alpha) \cdot g(x) \cdot z=-(1-\alpha) \cdot h(x)$ Jetzt erkennst du, dass es sich hier um eine lineare DGL 1. Ordnung handelt.  </li>
<li>Löse diese lineare DGL 1. Ordnung. </li>
<li>Mithilfe der allgemeinen Lösung $z(x)$ kannst du jetzt durch Rücktransformation (s. 1.) die Lösung der Bernoullischen DGL finden:  $y(x)=z(x)^{\frac{1}{1-\alpha}}$</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Typen von DGLs</h2>
Triviale Differentialgleichung $$y^{(n)}=f(x)$$ Getrennte Variablen $$y^{\prime}=f(x) \cdot g(y)$$ Linear 1. Ordnung $$y^{\prime}+a(x) \cdot y=b(x)$$ Euler-homogen $$y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Lineare Transformation $$y^{\prime}=f(a x+b y+c)$$ Gebrochen rationale Transformation $$y^{\prime}=f\left(\frac{a x+b y+c}{d x+e y+f}\right)$$ Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=b(x)$$ Bernoulli $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{\alpha}=0$$ Ricatti $$y^{\prime}+g(x) \cdot y+h(x) \cdot y^{2}=k(x)$$

<h2 class="content_sub_heading">Kategorien von DGLs</h2>
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel: $y(x) = 4y^{\prime}(x) + y^{\prime \prime}(x)$
 
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel: $y(x,t) = 4 \frac{\partial^2{y}}{\partial{t^2}} + 3 \frac{\partial{y}}{\partial{x}}$
 
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel: $y = 4y^{\prime} + y^{\prime \prime}$ (diese DGL ist 2. Ordnung).
 
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel: $y = 4x^2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime}$
 
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel: $y^{\prime} = sin(y)$
 
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne $y$ (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 0$
 
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne $y$)
Beispiel: $y + 2y^{\prime} + 3xy^{\prime \prime} = 2x^2$
 
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL. </li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um. Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen.  </li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter. </li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1114-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1114-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1114-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1114-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Differentialgleichung</h2>
Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.

<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1113-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1113-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1113-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1113-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: