Stetigkeit (mehrdimensional)

Partielle Ableitungen (Gradient)

Produktregel

Kettenregel

Ableitungsregeln (Übersicht)

Partielle Ableitungen

Der Gradient

Existenz von partiellen Ableitungen

Satz von Schwarz

Richtungsableitung

Existenz der Richtungsableitung

Skalarprodukt

Rechnen mit Vektoren

Multiindex-Notation

Differenzierbarkeit (total, partiell, Richtung)

Totale Differenzierbarkeit

Jakobi-Matrix (totale Ableitung)

Jacobi-Matrix

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix

Extrema (mehrdimensional)

Eigenwerte, Eigenräume und Eigenvektoren

Definitheit von Matrizen

Mehrdimensionale Extremstellen

Hauptminorantenkriterium

Definitheitsbestimmung über Eigenwertmethode

Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Gleichungssysteme lösen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\begin{aligned}</p><p>f^{\prime} &amp;=\left(y^{2} \cdot\left(1-e^{-x y}\right) \ , \quad 2 x y+(1-x y) \cdot e^{-x y}\right)</p><p>\end{aligned}</p>

<p>Bestimme die partiellen Ableitungen:</p>


<p>\begin{aligned}f_{x}(x, y)&amp;=y^{2} \cdot\left(1-e^{-x y}\right) \\</p>
<p>f_{y}(x, y)&amp;=2 x y+(1-x y) \cdot e^{-x y}\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>D f=f^{\prime} &amp;=\left(f_{x}, f_{y}\right) \\</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}</p>
<p>\Rightarrow \ f^{\prime} &amp;=\left(y^{2} \cdot\left(1-e^{-x y}\right) \ , \quad 2 x y+(1-x y) \cdot e^{-x y}\right)</p>
<p>\end{aligned}</p>

<p>Berechne für die Funktion:</p>
<p>$$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x, y)=x \cdot y^{2}+y \cdot e^{-x y}$$</p>
<p>die Jakobi-Matrix.</p>

<p>Berechne für die Funktion:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x, y)=x \cdot y^{2}+y \cdot e^{-x y}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.092ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 16394.8 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9639-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 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<p>die Jakobi-Matrix.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Jakobi-Matrix (totale Ableitung) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Grundlagen - Jakobi-Matrix (totale Ableitung) | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Partielle Ableitung</h2>
<p>Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.</p>



<h2 class="content_sub_heading">Partiell ableiten</h2>
<p>Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.<br />Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also $f_{xy}=f_{yx}$</p>


<p>Nach dem <strong>Satz von Schwarz</strong> gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f_{xy}=f_{yx}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.008ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 3981.5 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-869-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-869-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-869-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1601.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-869-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2657.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(490,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-869-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>



<h2 class="content_sub_heading">Jacobi-Matrix berechnen</h2>
<ol>
<li>Leite $f_{1}, \ldots, f_{m}$ jeweils partiell nach allen Variablen $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ab.<br /><br /></li>
<li>Trage diese partiellen Ableitungen an der Stelle $x_0$ so in die Form für die Jacobi-Matrix ein: <br /><br />$J_{f}\left(x_{0}\right)$ $=$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\left(x_{0}\right) &amp; \cdots &amp; \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\left(x_{0}\right) \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}\left(x_{0}\right) &amp; \cdots &amp; \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}\left(x_{0}\right)\end{array}\right)$</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: