Grundlagen - Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

4 / 6

Aufgabenstellung:

Bestimme die kritischen Punkte der folgenden Funktion

unter der Nebenbedingung

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Die Nebenbedingung kann eindeutig nach aufgelöst werden, allerdings produziert das Einsetzen einen äußerst unschönen Ausdruck.

Verwende Methode von Lagrange:

Stelle die Hilfsfunktion auf:

Stelle die Nebenbedingung nach Null um, multipliziere sie mit und addiere sie zur Funktion:

Bestimme die Extremstellen von

Berechne die partiellen Ableitungen und den Gradienten:

Löse das Gleichungssystem:

Aus der ersten Zeile folgt für :

Fallunterscheidung:

Fall

Untersuche Fall , mit dem Gleichungssystem:

Setze dies in die zweite Gleichung ein:

Daraus ergibt sich die erste kritische Stelle:

Untersuche Fall , mit dem Gleichungssystem:

Setze in Gleichung Zwei ein:

Daraus folgt:

Mit ergibt sich mit Gleichung :

Mit der Bedingung folgen die Extremstellen:

Übrig bleibt die Bedingung:

Verwende die dritte Gleichung. Multipliziere sie mit und ziehe sie von der Bedingung ab:

Rate eine Nullstelle:

ist eine Nullstelle dieser Gleichung.

Führe eine Polynomdivision durch um weitere zu erhalten:

Mit der abc-Formel ergibt sich für die Nullstellen:

Dies ist keine Lösung, da die Wurzel aus nicht definiert ist. Somit gibt es keine weiteren Nullstellen außer .

Mit der Bedingung und der dritten Gleichung, ergibt sich als weitere kritische Stelle:

Allerdings gilt

Die Art der Extremstellen lässt sich hier nur grafisch bestimmen (ist aber nicht gefragt).