Implizite Funktionen

Implizite Funktionen sind reelle Funktionen, die die Form haben. Also Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung angegeben sind.

Diese entstehen oft aus dem Grund, dass es nicht immer möglich ist eine reelle Funktion mithilfe einer expliziten Zuordnungsvorschrift der Form eindeutig darzustellen.

Definition

Implizite Funktion

Implizite Funktionen sind reelle Funktionen, die die Form haben.

Beispiel:

Die Gleichung ist eine implizite Funktion, da sie von der Form ist.

Wenn du die Gleichung nun nach auflöst, erhältst du:

Wie du siehst, hat die Auflösung nach mehrere Lösungen (wegen ), sie ist also nicht eindeutig.

Satz von der impliziten Funktion:

Der Satz über die impliziete Funktion beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite Gleichung oder ein Gleichungssysteme (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann. Er lautet wie folgt:

Definition

Satz über implizite Funktionen

Gegeben ist eine stetig differenzierbare impliziete Funktion und ein Punkt .

Gilt im Punkt : und , so ist die Funktion eindeutig nach auflösbar.
Gilt im Punkt : und , so ist die Funktion eindeutig nach auflösbar.

Der Satz ist direkt übertragbar auf Fälle, in denen du es mit höheren Dimensionen, also noch mehr Veränderlichen zu tun hast.

Ableiten einer implizieten Funktion:

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit impliziete Funktionen mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten. Sie wird auch oft dafür benutzt, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu berechnen.

Vorgehen

Ableiten einer impliziten Funktion

Gegeben sei die implizite Funktion und ein Punkt .

Um nun die partielle Ableitung im Punkt zu berechnen, nutze:

Prüfe, ob gilt. Falls nicht, kannst du die Ableitung im Punkt nicht berechnen.
Bilde und überprüfe, ob gilt.
Bilde und setze in die folgende Ableitungsformel ein:

Implizite Funktionen