1 / 5

Aufgabenstellung:

Untersuche, ob die Funktion

1. im Punkt

2. im Punkt

lokal umkehrbar ist.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Nch dem Satz über die Umkehrabbildung (inverse Funktion), ist lokal umkehrbar in einer kleinen Umgebung von , wenn die Determinante der Jakobi-Matrix im Punkt ungleich null ist: .

Bestimme die Jakobi-Matrix:

Mit: folgt:

Bestimme die Determinante

Setze den ersten Punkt ein:

Somit ist im Punkt lokal umkehrbar.

Hinweis:

z. B. kann für eine hinreichend kleine Umgebung von (1,1) eine eineindeutige Auflösung leicht angegeben werden:

Dies funktioniert hier, da die Wurzeln keine zwei Lösungen produzieren, da wir in einer kleinen Umgebung von nur positive Werte haben.

Setze den zweiten Punkt ein:

Der Satz über die Umkehrabbildung kann hier keine Aussage treffen.

Wähle zwei Punkte in einer kleinen Umgebung von und schaue dir die Funktionswerte an:

Die beiden Punkte bilden auf den gleichen Funktionswert ab:

Dies ist ein Widerspruch zu der Existenz einer eindeutigen Umkehrabbildung.

Somit ist im Punkt nicht lokal umkehrbar.

Lösung:

ist im Punkt lokal umkehrbar, aber nicht im Punkt .