Satz über Umkehrabbildung (mehrdimensional)

Lokale Umkehrbarkeit
Der Satz über Umkehrfunktionen gibt an unter welchen Bedingungen eine Funktion eine Umkehrfunktion hat und welche Eigenschaften diese Umkehrfunktion besitzt.


Satz über Umkehrfunktionen: Sei offen und eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei a und Die Jacobi Matrix sei an der Stelle a invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung von und eine offene Umgebung von b, sodass die Menge bijektiv auf die Menge abbildet und die Umkehrfunktion stetig differenzierbar ist. Für die
Ableitung gilt

Bemerkungen:

  • ist eine bijektive Abbildung. Damit ist insbesondere injektiv.
  • Dass die Jacobi-Matrix an der Stelle a invertierbar ist, bedeutet, dass eine bijektive, lineare Abbildung ist (Isomorphismus).
  • Die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix kann man durch Ausrechnen der Determinante prüfen: invertierbar
  • Die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion erhält man leicht durch Ableiten der Identitäten und