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Aufgabenstellung:

Beweise die Konvergenz der Iteration

und gebe eine obere Schranke für die Anzahl der für eine Genauigkeit von benötigten Iterationen an.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

Prüfe die folgenden Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz:

Selbstabbildung einer abgeschlossenen Menge:

Kontraktion:

(i) Selbstabbildung:


wähle

Überprüfe Monotonie:

monoton fallend auf und

(ii) Kontraktion:

Mit dem Mittelwertsatz folgt:

Wähle die Kontante als das Maximum der Ableitung mit :

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt und die Iterationen konvergieren somit.

Iterationen für die Genauigkeit von

Verwende die a-priori-Fehlerabschätzungsformel:

Es werden also maximal 13 Schritte benötigt.

Lösung:

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es also genau einen Fixpunkt und nach 13 Iterationen wird eine Genauigkeit von erreicht.