Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem:
Bestimme hierfür ein Fundamentalsystem.
Bestimme die Eigenwerte der Matrix
Verwende die Regel von Sarrus:
Aus diesem Ausdruck können die Eigenwerte direkt abgelesen werden.
Beachte: sie sind teilweise komplex.
Bestimme zu jedem Eigenwert
Löse das System:
Addiere Zeile
Daraus ergibt sich für den Lösungsvektor:
Setze z. B.
mit dem Eigenvektor:
Löse das System:
Daraus ergibt sich für den Lösungsvektor
Setze z. B.
mit dem Eigenvektor:
Löse das System:
Daraus ergibt sich für den Lösungsvektor
Setze z. B.
mit dem Eigenvektor:
Daraus ergibt sich das Fundamentalsystem (System aus linear unabhängigen Vektoren):
Benutze:
Hier handelt es sich bei dem dritten Vektor um den komplex konjugierten vom zweiten (mittleren) Vektor.
Vereinfache nur den mittleren Vektor und löse ihn nach Real- und Imaginärteil auf.
Merke: Realteil und Imaginärteil eines komplexen Fundamentalsystemvektors sind linear unabhängige, reelle Lösungsvektoren des DGL-Systems. Damit kann ein reelles Fundamentalsystem angegeben werden. Der dritte Vektor (konjugiert komplex) liefert dann keine neuen Informationen mehr.
Damit ergibt sich ein reelles Fundamentalsystem mit: