Totale Differenzierbarkeit

Eine Funktion mit Variablen heißt total differenzierbar in , wenn gilt: 

mit und

Für gilt:

Wenn du jetzt substituierst, erhältst du analog für die totale Differenzierbarkeit: 

Wenn du in einer Aufgabe herausfinden sollst, ob eine Funktion total differenzierbar ist, kannst du auch dieses Kriterium benutzen: 

Definition

Kriterium für totale Differenzierbarkeit

Falls stetig partiell differenzierbar ist, dann ist total differenzierbar.

Vorgehen

Totale Differenzierbarkeit überprüfen

Wir untersuchen die Funktion an der Stelle auf totale Differenzierbarkeit:

 

1. Überprüfe die Existenz der partiellen Ableitungen von in und berechne diese.

 

2. Überprüfe die berechneten partiellen Ableitungen auf Stetigkeit im Punkt . 

 

Wenn alle partiellen Ableitungen von existieren und stetig in sind, so ist die Funktion am Punkt total differenzierbar. Wenn die Bedingungen 1. und 2. für alle Punkte gelten, ist die Funktion überall total differenzierbar.