1 / 5

Aufgabenstellung:

Gegeben sei die Funktion mit:

1. Untersuche die Stetigkeit im Punkt .
2. Existieren die partiellen Ableitungen in ?
3. Ist im Punkt total differenzierbar?

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten
Schritt der Lösung anzuzeigen.

1. Untersuche die Stetigkeit von im Punkt . Dazu sei

Benutze Polarkoordinaten:

Wegen kannst du im Nenner aus den Betragsstrichen ziehen und ausklammern:

Da Zähler und Nenner positiv sind, kannst Du die äußeren Betragsstriche weglassen:

Wegen der Beziehung gilt:

Bestimme den Grenzwert

ist also im Nullpunkt stetig.

2. Untersuchen die Existenz der partiellen Ableitungen:

(a) Die partielle Ableitung nach :

Wir untersuchen die Existenz von

Nach der Regel von l'Hospital ergibt sich für die beiden Brüche und den Grenzwert:

Dieser Grenzwert existiert nicht. Somit ist nicht partiell differenzierbar, existiert also nicht.

(b) Die partielle Ableitung nach

Untersuchen die Existenz von

Somit existiert also die partielle Ableitung nach im Nullpunkt:

3. Totale Differenzierbarkeit:

ist total differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.

ist nicht total differenzierbar in weil nicht existiert.

Lösung:

1. ist im Nullpunkt stetig

2. existiert nicht, existiert
3. ist nicht total differenzierbar in (0,0)