Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Diagonalisierung

Diagonalisierung einer Matrix

Definitheit prüfen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>Die Matrix $A$ sit positiv definit, wenn $-\sqrt{\frac{3}{5}}&lt;a&lt;\sqrt{\frac{3}{5}}$ gilt.</p>

<p>Die Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10946-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10946-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> sit positiv definit, wenn <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="-\sqrt{\frac{3}{5}}<a<\sqrt{\frac{3}{5}}" style="vertical-align: -1.314ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.197ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1279.3 7601.2 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10947-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10947-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-10947-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-10947-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-10947-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-10947-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(778, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 69.3)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="793.6" height="60" x="1020" y="1159.3"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2869.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3925.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4731.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(5787.7, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 69.3)"><use xlink:href="#MJX-10947-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="793.6" height="60" x="1020" y="1159.3"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> gilt.</p>

<p>Berechne die Hauptminoren, um Bedingungen für $a$ zu finden:</p>


<p>Berechne die Hauptminoren, um Bedingungen für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10931-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10931-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu finden:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{det} (A_{1})&amp;=\operatorname{det} (a_{11}) \\</p>
<p>&amp;=1&gt;0</p>
<p>\end{align*}</p>
<p>Der erste Hauptminor ist für alle $a \in \mathbb{R}$ positiv.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\operatorname{det} (A_{1})&=\operatorname{det} (a_{11}) \\
&=1>0
\end{align*}" style="vertical-align: -2.036ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.342ex" height="5.204ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1400 8107.2 2300" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10932-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-10932-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-10932-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-10932-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-10932-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10932-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 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<p>Der erste Hauptminor ist für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.596ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2473.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10933-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10933-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-10933-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10933-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10933-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1751.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10933-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> positiv.</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{det} (A_{2})&amp;=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}<br />1 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 3<br />\end{array}\right) \\</p>
<p>&amp;=3&gt;0</p>
<p>\end{align*}</p>
<p>Der zweite Hauptminor ist für alle $a \in \mathbb{R}$ positiv.</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\operatorname{det} (A_{2})&=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 3
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<p>Der zweite Hauptminor ist für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.596ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2473.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10935-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10935-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-10935-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10935-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10935-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1751.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10935-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> positiv.</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{det} A_{3}&amp;=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}<br />1 &amp; 0 &amp; a \\<br />0 &amp; 3 &amp; -2 \\<br />a &amp; -2 &amp; 2<br />\end{array}\right) \\</p>
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<p>&amp;=2-3 a^{2}&gt;0</p>
<p>\end{align*}</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\operatorname{det} A_{3}&=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a \\
0 & 3 & -2 \\
a & -2 & 2
\end{array}\right) \\
&=6-3 a^{2}-4 \\
&=2-3 a^{2}>0
\end{align*}" style="vertical-align: -6.977ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.13ex" height="15.086ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3583.9 12433.4 6667.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10936-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-10936-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 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<p>Untersuche für welche $a \in \mathbb{R}$ die gefundene Ungleichung erfüllt ist:</p>


<p>Untersuche für welche <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.596ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2473.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10937-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10937-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-10937-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10937-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10937-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1751.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10937-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> die gefundene Ungleichung erfüllt ist:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp; 2-3 a^{2}&amp;&gt;0 \\<br />\Leftrightarrow &amp;&amp; \frac{2}{3}&amp;&gt;a^{2} \\<br />\Leftrightarrow &amp;&amp; -\sqrt{\frac{2}{3}}&lt;&amp; \ a\ &lt;\sqrt{\frac{2}{3}}<br />\end{align*}</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
&& 2-3 a^{2}&>0 \\
\Leftrightarrow && \frac{2}{3}&>a^{2} \\
\Leftrightarrow && -\sqrt{\frac{2}{3}}<& \ a\ <\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}" style="vertical-align: -6.498ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.156ex" height="14.127ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3372 11560.8 6243.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10938-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10938-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10938-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-10938-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 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xlink:href="#MJX-10938-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7238.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 596)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-21D4"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1000, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6298.2, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use 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data-mml-node="msqrt" transform="translate(1222.4, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 182.3)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-S3-221A"></use></g><rect width="940" height="60" x="1020" y="1572.3"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3460.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-3C"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7238.2, 0)"><g data-mml-node="mtext"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(250, 0)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(779, 0)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1306.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(2362.6, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 182.3)"><use xlink:href="#MJX-10938-TEX-S3-221A"></use></g><rect width="940" height="60" x="1020" y="1572.3"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Die Determinante von $A_{4}$ berechnen wir mit dem Entwicklungssatz von Laplace. Hier: Entwicklung nach der 1 Spalte.</p>


<p>Die Determinante von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A_{4}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.61ex" height="1.959ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1153.6 866" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10939-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-10939-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10939-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(750, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10939-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> berechnen wir mit dem Entwicklungssatz von Laplace. Hier: Entwicklung nach der 1 Spalte.</p>


<p>\begin{align*}<br />\operatorname{det} A_{4} &amp;=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}<br />1 &amp; 0 &amp; a &amp; 0 \\<br />0 &amp; 3 &amp; -2 &amp; 1 \\<br />a &amp; -2 &amp; 2 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 7<br />\end{array}\right) \\\\<br />&amp;=1 \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}<br />3 &amp; -2 &amp; 1 \\<br />-2 &amp; 2 &amp; 0 \\<br />1 &amp; 0 &amp; 7<br />\end{array}\right)+a \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}<br />0 &amp; a &amp; 0 \\<br />3 &amp; -2 &amp; 1 \\<br />1 &amp; 0 &amp; 7<br />\end{array}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=42-2-28+a(a-21 a) \\</p>
<p>&amp;=12-20 a^{2}&gt;0<br />\end{align*}</p>


<p>Untersuche für welche <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.596ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2473.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10941-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10941-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-10941-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10941-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10941-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1751.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10941-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> die gefundene Ungleichung erfüllt ist:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;&amp; 12-20 a^{2}&amp;&gt;0 \\</p>
<p>\Leftrightarrow &amp;&amp; \frac{3}{5}&amp;&gt;a^{2} \\<br />\Leftrightarrow &amp;&amp; -\sqrt{\frac{3}{5}}&lt; &amp;\  a \ &lt;\sqrt{\frac{3}{5}}<br />\end{align*}</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
&& 12-20 a^{2}&>0 \\
\Leftrightarrow && \frac{3}{5}&>a^{2} \\
\Leftrightarrow && -\sqrt{\frac{3}{5}}< &\  a \ <\sqrt{\frac{3}{5}}
\end{align*}" style="vertical-align: -6.497ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.156ex" height="14.124ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3371.5 11560.8 6242.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10942-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-10942-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 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<p>$A$ ist positiv definit, wenn alle 4 Determinanten positiv sind. Führe daher alle ermittelten Bedingungen zusammen:</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10943-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10943-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist positiv definit, wenn alle 4 Determinanten positiv sind. Führe daher alle ermittelten Bedingungen zusammen:</p>


<p>Da $\sqrt{\frac{3}{5}}&lt;\sqrt{\frac{2}{3}}$ folgt insgesamt: $-\sqrt{\frac{3}{5}}&lt;a&lt;\sqrt{\frac{3}{5}}$</p>

<p>Da <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\sqrt{\frac{3}{5}}<\sqrt{\frac{2}{3}}" style="vertical-align: -1.314ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.223ex" height="4.209ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1279.7 4960.7 1860.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10944-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-10944-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-10944-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-10944-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-10944-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msqrt"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 69.3)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="793.6" height="60" x="1020" y="1159.3"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2091.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(3147.1, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-N-33"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 69.7)"><use xlink:href="#MJX-10944-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="793.6" height="60" x="1020" y="1159.7"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> folgt insgesamt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="-\sqrt{\frac{3}{5}}<a<\sqrt{\frac{3}{5}}" style="vertical-align: -1.314ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.197ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1279.3 7601.2 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10945-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-10945-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-10945-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-10945-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-10945-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-10945-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(778, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 69.3)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="793.6" height="60" x="1020" y="1159.3"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2869.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3925.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4731.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(5787.7, 0)"><g transform="translate(1020, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-N-35"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 69.3)"><use xlink:href="#MJX-10945-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="793.6" height="60" x="1020" y="1159.3"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Finde alle Werte für $a \in \mathbb{R}$, für welche die Matrix $A$ positiv definit ist.</p>
<p> </p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A=\left(\begin{array}{cccc}<br />1 &amp; 0 &amp; a &amp; 0 \\<br />0 &amp; 3 &amp; -2 &amp; 1 \\<br />a &amp; -2 &amp; 2 &amp; 0 \\<br />0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 7<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Finde alle Werte für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a \in \mathbb{R}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.596ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2473.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10928-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-10928-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-10928-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10928-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10928-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1751.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10928-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>, für welche die Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10929-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10929-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> positiv definit ist.</p>
<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Definitheit prüfen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Eigenwerte - Definitheit prüfen | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Eigenwerten, Räume und Vektoren</h2>
<ol>
<li>Bestimme das charakteristische Polynom von $A$ über $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E_n)$. Ziehe dazu jeweils ein $\lambda$ von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.</li>
<li>Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.<br />$\chi_{A}(\lambda)=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1, \ldots, \lambda_n$</li>
<li>Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_i)=\operatorname{ker}(A-\lambda_i \cdot E_n)$<br /><em>Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.</em></li>
<li>Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.</li>
</ol>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: