Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

<ol>
<li>$$\operatorname{rot}(F)=\left(\begin{array}{c} y \\ -y \\ z \end{array}\right)$$</li>
<li>$$W=\frac{4}{3}$$</li>
</ol>

<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{rot}(F)&amp;=\left(\begin{array}{c}<br />\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} \\<br />\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} \\<br />\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}<br />\end{array}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}<br />x+2 y-(x-y) \\<br />-2 y-y \\<br />z-(-2 z)<br />\end{array}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}<br />3 y \\<br />-3 y \\<br />3 z<br />\end{array}\right) \\\\</p>
<p>&amp;=\left(\begin{array}{c}<br />y \\<br />-y \\<br />z<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>2. Von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.695ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 749 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12107-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12107-TEX-I-1D439"></use></g></g></g></svg></mjx-container> geleistete Arbeit:</p>


<p>Für die Parameterdarstellung von $S$ gilt:</p>


<p>Für die Parameterdarstellung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="S" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12108-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12108-TEX-I-1D446"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>


<p>\begin{align*}\Phi(u, v)=\left(\begin{array}{c}<br />u \\<br />v \\<br />2-2 u-v<br />\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>mit $B=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 2-2 u\right\}$</p>


<p>Bilde $\Phi_{u} \times \Phi_{v}$:</p>


<p>Bilde <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Phi_{u} \times \Phi_{v}" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.95ex" height="1.902ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3513.9 840.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12111-TEX-N-3A6" d="M312 622Q310 623 307 625T303 629T297 631T286 634T270 635T246 636T211 637H184V683H196Q220 680 361 680T526 683H538V637H511Q468 637 447 635T422 631T411 622V533L425 531Q525 519 595 466T665 342Q665 301 642 267T583 209T506 172T425 152L411 150V61Q417 55 421 53T447 48T511 46H538V0H526Q502 3 361 3T196 0H184V46H211Q231 46 245 46T270 47T286 48T297 51T303 54T307 57T312 61V150H310Q309 151 289 153T232 166T160 195Q149 201 136 210T103 238T69 284T56 342Q56 414 128 467T294 530Q309 532 310 533H312V622ZM170 342Q170 207 307 188H312V495H309Q301 495 282 491T231 469T186 423Q170 389 170 342ZM415 188Q487 199 519 236T551 342Q551 384 539 414T507 459T470 481T434 491T415 495H410V188H415Z"></path><path id="MJX-12111-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-12111-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-12111-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12111-TEX-N-3A6"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12111-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1398.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12111-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2398.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12111-TEX-N-3A6"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(722, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12111-TEX-I-1D463"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp;\Phi_{u} = \left(\begin{array}{c}<br />1 \\<br />0 \\<br />-2<br />\end{array}\right) \quad \Phi_{v}=\left(\begin{array}{c}<br />0 \\<br />1 \\<br />-1<br />\end{array}\right) \\</p>
<p>&amp;\Rightarrow \Phi_{u} \times \Phi_{v}=\left(\begin{array}{l}<br />2 \\<br />1 \\<br />1<br />\end{array}\right)\end{align*}</p>


<p>Nutze nun den Satz von Stokes um das zu lösende Integral zu berechnen:</p>


<p>\begin{align*}<br />W &amp;=\int_{\partial S} F \cdot d s \\<br />&amp;=\int_{S} \operatorname{rot}(F) \ d o \\<br />&amp;=\int_{S} \operatorname{rot} F(\Phi(u, v))\left(\Phi_{u} \times \Phi_{v}\right) \ d(u, v)<br />\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}<br />\ \ \ \ &amp;=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2 u}(v,-v, 2-2 u-v)^{T} \cdot(2,1,1)^{T} \ d v d u \\<br />&amp;=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2 u}(2 v-v+2-2 u-v) \ d v d u<br />\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}<br />\ \ \ \ &amp;=\int_{0}^{1}[2 v-2 u v]_{0}^{2-2 u} \ d u \\<br />&amp;=\int_{0}^{1}\left(4-4 u-4 u+4 u^{2}\right) \ d u \\<br />&amp;=\left[4 u-4 u^{2}+\frac{4}{3} u^{3}\right]_{0}^{1} \\<br />&amp;=\frac{4}{3}<br />\end{align*}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p class="horizontalLayoutText">Es ist ein Kraftfeld im Raum $\mathbb{R}^{3}$ gegeben, mit $F(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{2}-2 y z, x z-y z, x y+y^{2}\right)^{\top}$. <br />Zusätzlich liegt noch ein Dreieck $S$ im ersten Oktanten vor, welches durch die Eckpunkte $P_{1}:(1,0,0); \ P_{2}:(0,2,0); \ P_{3}:(0,0,2)$ definiert ist.</p>
<p class="horizontalLayoutText"> </p>
<p class="horizontalLayoutText"><strong>Berechne:</strong></p>
<ol>
<li class="horizontalLayoutText">die Rotation von $F$</li>
<li class="horizontalLayoutText">die von $F$ geleistete Arbeit $W=\int_{\partial S} F \cdot d s$ längs der orientierten Randkurve $\partial S$ des vorliegenden Dreiecks. Nutze dabei den Satz von Stokes.</li>
</ol>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f19c86a0709bd0064515acd.png" alt="Dreieck mit angetragenem Koordinatensystem und Orientierung" width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p>Hinweis: Nutze für $S$ die Parameterdarstellung $\Phi(u, v)=(u, v, 2-2 u-v)^{T}$</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz von Stokes mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Satz von Stokes | Aufgabe mit L

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: