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Aufgabenstellung:

Ein Würfel wird aus zwölf Widerständen zusammengelötet. Die Lötpunkte an den Ecken stellen die Knotenpunkte dar und an jeder Würfelkante befindet sich ein Widerstand.

 

Abbildung

Wie groß ist der Widerstand zwischen den Ecken (A) - (B), wenn alle zwölf Widerstände den Wert besitzen?

Hinweis: Nutzen Sie Symmetrieeigenschaften aus und entfernen Sie Verbindungen, durch die kein Strom fließen kann.

Lösungsweg:

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1. Vorbereitung

Für die Widerstände werden Bezeichnungen in die Schaltung eingefügt. Zugunsten einer besseren Übersichtlichkeit wird lediglich die Indexnummer des Widerstandes als Bezeichner gewählt.

Abbildung

Durch Analyse der Verbindungsmöglichkeiten zwischen den Klemmen (A) und (B) wird ein Ersatzschaltbild gezeichnet.

Abbildung

2. Widerstandsberechnung

Da alle Widerstände den identischen Wert besitzen, fällt bei Betrachtung der Symmetrie auf, dass am Knoten und beziehungsweise am Knoten und jeweils das gleiche Potenzial anliegt. Da ein Stromfluss nur bei Potenzialunterschied möglich ist, kann durch die Widerstände und kein Strom fließen, und sie können entfernt werden. Der Widerstand zwischen den Klemmen und ergibt sich zu:

Das Einsetzen der Zahlenwerte liefert folgendes Ergebnis für

Lösung: