Flächenpressung

KRAFT

Torsion

Schub

Biegung

Zug und Druck

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p><strong>Kräfte:</strong></p>
<p>Lager $ A: 116,3 \mathrm{kN} \rightarrow $</p>
<p>Lager $ D: 116,3 \mathrm{kN} \leftarrow $</p>
<p> </p>
<p><strong>Spannungen: </strong></p>
<p>$ \sigma_{A B}=\sigma_{C D}=-92,92 \mathrm{MPa}$</p>
<p>$\sigma_{B C}=-24,23 \mathrm{MP} $</p>

<p>Lager freischneiden (Skizze) und Gleichgewicht aufstellen:</p>


<p>\begin{align}<br />\sum F_{x}=0: \quad A_{x}-D_{x}&amp;=0 \\</p>
<p>\Rightarrow D_{x}&amp;=A_{x} <br />\end{align}</p>


<p>Verträglichkeitsbedingung formulieren:</p>


<p>Um die Verträglichkeitsbedingung anwenden zu können, wird eine Beziehung für die Längenänderung $\Delta L$ benötigt. Dazu müssen die Dehnungen infolge der Normalkraft und der Temperaturänderung ermittelt werden.</p>


<p>Um die Verträglichkeitsbedingung anwenden zu können, wird eine Beziehung für die Längenänderung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Delta L" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.425ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1514 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12929-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-12929-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12929-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833, 0)"><use xlink:href="#MJX-12929-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> benötigt. Dazu müssen die Dehnungen infolge der Normalkraft und der Temperaturänderung ermittelt werden.</p>


<p>\begin{align}<br />N_{A B}=N_{B C}=N_{C D}=-A_{x} <br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\sigma_{A B}=-\frac{A_{x}}{A_{A B}}, \quad \sigma_{B C}=-\frac{A_{x}}{A_{B C}}, \quad \sigma_{C D}=-\frac{A_{x}}{A_{C D}} <br />\end{align}</p>


<p>Stelle den Temperaturverlauf für die einzelnen Bereiche auf:</p>


<p>\[<br />\Delta T(x)=\left\{\begin{array}{cc}<br />\Delta T_{0} \frac{x}{a}, &amp; 0 &lt; x &lt; a \\<br />\Delta T_{0}, &amp; a &lt; x &lt; 2 a \\<br />\Delta T_{0}\left(2-\frac{x}{2 a}\right), &amp; 2 a &lt; x &lt; 4 a<br />\end{array}\right.<br />\]</p>


<p>Stelle die Dehnungen für die einzelnen Bereiche auf:</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\epsilon_{A B}(x)&amp;=-\frac{A_{x}}{E A_{A B}}+\alpha_{T} \Delta T_{0} \frac{x}{a} \\<br />\epsilon_{B C}(x)&amp;=-\frac{A_{x}}{E A_{B C}}+\alpha_{T} \Delta T_{0} \\<br />\epsilon_{C D}(x)&amp;=-\frac{A_{x}}{E A_{C D}}+\alpha_{T} \Delta T_{0}\left(2-\frac{x}{2 a}\right)<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Damit lautet die Verträglichkeitsbedingung:</p>


<p>\[<br />0=\int_{0}^{4 a} \epsilon(x) d x=\int_{0}^{a} \epsilon_{A B}(x) d x+\int_{a}^{2 a} \epsilon_{B C}(x) d x+\int_{2 a}^{4 a} \epsilon_{C D}(x) d x<br />\]</p>


<p>Berechnung der einzelnen Integrale:</p>


<p>\begin{aligned}<br />\int_{0}^{a} \epsilon_{A B}(x) d x &amp;=-\frac{A_{x} a}{E A_{A B}}+\frac{\alpha_{T} \Delta T_{0}}{a} \int_{0}^{a} x d x=-\frac{A_{x} a}{E A_{A B}}+\frac{1}{2} \alpha_{T} \Delta T a </p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}<br />\int_{a}^{2 a} \epsilon_{B C}(x) d x &amp;=-\frac{A_{x} a}{E A_{B C}}+\alpha_{T} \Delta T_{0} a \\</p>
<p>\end{aligned}</p>


<p>\begin{aligned}<br />\int_{2 a}^{4 a} \epsilon_{C D}(x) d x &amp;=-\frac{2 A_{x} a}{E A_{C D}}+\alpha_{T} \Delta T_{0} \int_{2 a}^{4 a}\left(2-\frac{x}{2 a}\right) d x \\<br />&amp;=-\frac{2 A_{x} a}{E A_{C D}}+\alpha_{T} \Delta T_{0}\left[2 x-\frac{x^{2}}{4 a}\right]_{x=2 a}^{x=4 a} \\<br />&amp;=-\frac{2 A_{x} a}{E A_{C D}}+\alpha_{T} \Delta T_{0}(8 a-4 a-4 a+a)=-\frac{2 A_{x} a}{E A_{C D}}+\alpha_{T} \Delta T_{0} a<br />\end{aligned}</p>


<p>Einsetzen in die Verträglichkeitsbedingung führt auf</p>


<p>\[<br />0=-\frac{A_{x} a}{E}\left(\frac{1}{A_{A B}}+\frac{1}{A_{B C}}+\frac{2}{A_{C D}}\right)+\alpha_{T} \Delta T_{0} a\left(\frac{1}{2}+1+1\right)<br />\]</p>


<p>Auflösen nach der gesuchten Kraft ergibt</p>


<p>\begin{align}<br />A_{x}=\frac{5}{2} \frac{E \alpha_{T} \Delta T_{0}}{\frac{1}{A_{A B}}+\frac{1}{A_{B C}}+\frac{2}{A_{C D}}} <br />\end{align}</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />A_{e}&amp;=\frac{1}{\frac{1}{A_{A B}}+\frac{1}{A_{B C}}+\frac{2}{A_{C D}}}=\frac{1}{\frac{1}{1200 \mathrm{~mm}^{2}}+\frac{1}{4800 \mathrm{~mm}^{2}}+\frac{2}{1200 \mathrm{~mm}^{2}}}=369,2 \mathrm{~mm}^{2} \\\\<br />A_{x}&amp;=\frac{5}{2} \cdot 210 \cdot 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} \cdot 369,2 \mathrm{~mm}^{2} \cdot 1,2 \cdot 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1} \cdot 50 \mathrm{~K}=116,3 \cdot 10^{3} \mathrm{~N} \\\\<br />\sigma_{A B}&amp;=-\frac{116,3 \cdot 10^{3} \mathrm{~N}}{1200 \mathrm{~mm}^{2}}=-96,92 \mathrm{MPa} \\\\<br />\sigma_{B C}&amp;=-\frac{116,3 \cdot 10^{3} \mathrm{~N}}{4800 \mathrm{~mm}^{2}}=-24,23 \mathrm{MPa} \\\\<br />\sigma_{C D}&amp;=-\frac{116,3 \cdot 10^{3} \mathrm{~N}}{1200 \mathrm{~mm}^{2}}=-96,92 \mathrm{MPa}<br />\end{align}<br />\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Die abgebildete Welle wird in den Punkten $ A $ und $ D $ durch Festlager gehalten. Sie wird durch den abgebildeten Temperaturverlauf $ \Delta T(x) $ belastet.<br /><br />Wie groß sind die Kräfte in den Lagern $ A $ und $ D $ sowie die Spannungen in den $ \mathrm{Ab} $ schnitten $ A B, B C $ und $ C D ? $</p>
<p> </p>
<p><strong>Zahlenwerte:</strong></p>
<p>$ E=210 \mathrm{GPa} $</p>
<p>\begin{align}<br />\alpha_{T}=1,2 \cdot 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}, A_{A B}=A_{C D}=1200 \mathrm{~mm}^{2} <br />\end{align}</p>
<p>\begin{align}<br />A_{B C}=4800 \mathrm{~mm}^{2}, \Delta T_{0}=50 \mathrm{~K} <br />\end{align}</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 98%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602f52382fe7b3a4e586bf6e.png" alt="Abbildung" height="241" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Zug und Druck mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: