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Aufgabenstellung:

AbbildungDie abgebildete Seifenkiste hat zusammen mit dem Fahrer, aber ohne die vier Räder, das Gewicht . Die Räder haben jeweils das Gewicht , den Radius und den Trägheitsradius bezüglich inres Mittelpunktes.

  1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit als Funktion des zurückgelegten Weges, wenn die Räder ohne Gleiten rollen und der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Der zurückgelegte Weg wird ab dem Start aus dem Stand gemessen.
  2. Welche Geschwindigkeit hat die Seifenkiste an der Stelle ?
  3. Wie groß ist die Beschleunigung ?

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Geschwindigkeit als Funktion des Weges

Die einzige Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die Gewichtskraft. Daher lässt sich die Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz lösen.

Das Nullniveau für die Lageenergie wird in den Startpunkt gelegt. Dann sind die kinetische und die potenzielle Energie beim Start null.

Der Energieerhaltungssatz lautet:

Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der translatorischen kinetischen Energie der Seifenkiste und der Räder sowie der rotatorischen kinetischen Energie der Räder:

Da die Räder rollen, gilt die Rollbedingung

Damit gilt für die kinetische Energie:

Für die Lageenergie gilt:

Damit lautet der Energieerhaltungssatz:

Es folgt für

b) Geschwindigkeit für

Nach Zurücklegen von hat die Seifenkiste die Geschwindigkeit

c) Beschleunigung

Für die Beschleunigung gilt:

Aus

folgt:

Zahlenwert:

Lösung: