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Aufgabenstellung:

AbbildungAn dem vom Jo-Jo (Masse , Trägheitsradius ) abgewickelten Seil greift unter dem Winkel die Kraft an. Das Jo-Jo liegt auf einer rauen Oberfläche mit Haftungskoeffizient und Reibungskoeffizient

Ermitteln Sie die Winkelbeschleunigung und die Schwerpunktsbeschleunigung des Jo-Jo. Welche Fälle können auftreten?

Lösungsweg:

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Schwerpunktsatz:

Abbildung

Drallsatz:

Aus dem Schwerpunktsatz folgt:

a) Jo-Jo hebt ab

Das Jo-Jo hebt ab, wenn für das Kräftegleichgewicht in -Richtung eine negative Normalkraft nötig ist:

Für kann das Jo-Jo rollen oder rutschen.

b) Jo-Jo rollt 

Winkelgeschwindigkeit und Schwerpunktsgeschwindigkeit sind über die Rollbedingung gekoppelt:

Damit gilt für die Tangentialkraft:

Einsetzen in den Drallsatz ergibt:

Daraus kann die Winkelbeschleunigung bestimmt werden:

Für die Beschleunigung des Schwerpunkts folgt aus der Rollbedingung:

Für d. h. für rollt das Jo-Jo nach rechts, sonst nach links.
Damit das Jo-Jo rollt, muss die Haftbedingung erfüllt sein:

Einsetzen der aus dem Schwerpunktsatz und der Rollbedingung gefundenen Beziehungen für und ergibt:

Einsetzen für die Winkelbeschleunigung führt auf:

Damit lautet die Haftbedingung:

Auflösen nach ergibt:

c) Jo-Jo rutscht

Wenn die Haftbedingung nicht erfüllt ist, aber kein Abheben erfolgt, dann rutscht das Jo-Jo. In diesem Fall gilt für die Tangentialkraft das Reibungsgesetz:

Einsetzen in den Schwerpunktsatz ergibt:

Einsetzen in den Drallsatz ergibt:

Tabellarische Zusammenfassung der Ergebnisse

  Jo-Jo hebt ab
Jo-Jo rollt.
  Jo-Jo rutscht.

Lösung:

siehe Lösungsweg.