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Aufgabenstellung:

AbbildungDer abgebildete starre Körper ist im Punkt gelenkig gelagert. Er hat das Massenträgheitsmoment bezüglich Punkt . Im Punkt ist eine lineare Feder mit der Federsteifigkeit angeschlossen und im Punkt ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer mit der Dämpferkonstanten

Die Auslenkung des Körpers wird durch den im Gegenuhrzeigersinn positiv gemessenen Winkel beschrieben, der als klein angenommen werden darf.

Eine Messung ergibt, dass während der Beobachtungszeit insgesamt volle Schwingungen ausgeführt werden. Dabei geht die Amplitude des Winkels von auf zurück.

  1. Stellen Sie die Schwingungsgleichung auf.
  2. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer und die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung.
  3. Bestimmen Sie die Abklingkonstante das Lehrsche Dämpfungsmaß das Massenträgheitsmoment und die Dämpferkonstante .

Gegeben:


Lösungsweg:

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a) Schwingungsgleichung

Drallsatz bezüglich

Abbildung

Federkraft:

Dämpferkraft:

Einsetzen ergibt:

Daraus folgt die Schwingungsgleichung:

b) Schwingungsdauer und Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

Schwingungsdauer:

Kreisfrequenz:

c) Systemparameter

Abklingkonstante:

Aus folgt:

Zahlenwert:

Lehrsches Dämpfungsmaß:

Wegen gilt:

Daher darf die Näherung verwendet werden.

Daraus folgt:

Zahlenwert:

Massenträgheitsmoment:

Aus der Schwingungsgleichung kann abgelesen werden:

Mit

folgt:

Dämpferkonstante:

Aus der Schwingungsgleichung kann abgelesen werden:

Zahlenwert:

Lösung: