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Aufgabenstellung:

AbbildungFür die Anziehungskraft, die die Erde auf einen Körper der Masse ausübt, der sich in der Höhe über der Erdoberfläche befindet, gilt:

Dabei ist die Gravitationskonstante, die Masse der Erde und der Radius der Erde. 

  1. Welche Beziehung gilt für die potenzielle Energie wenn als Nullniveau die Erdoberfläche gewählt wird? Welcher Zahlenwert ergibt sich für die Höhe
  2. Welche Näherung gilt, wenn die Höhe klein gegenüber dem Erdradius ist?
  3. Welcher Zahlenwert folgt aus der Näherung für die Erdbeschleunigung in Bodennähe?

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Potenzielle Energie

Die potenzielle Energie einer konservativen Kraft ist die Arbeit, die die Kraft verrichtet, wenn der Körper in den Bezugspunkt verschoben wird. Im vorliegenden Fall entspricht das der Arbeit, die die Anziehungskraft verrichtet, wenn der Körper aus der Höhe auf die Erdoberfläche verschoben wird.

Die Anziehungskraft ist stets zum Erdmittelpunkt hin gerichtet. Als Weg wird daher eine Gerade durch den Erdmittelpunkt gewählt. Dann sind Kraft und Wegelement stets parallel und gleich gerichtet.

Damit berechnet sich die potenzielle Energie zu

Für die Höhe ergibt sich der Zahlenwert

b) Näherung für kleine Höhen

Für die potenzielle Energie gilt:

Dieser Ausdruck wird bezüglich in eine Taylorreihe um entwickelt:

Für müssen nur die ersten beiden Glieder berücksichtigt werden.

Mit  und

folgt:

c) Erdbeschleunigung in Bodennähe

Aus folgt für die Erdbeschleunigung in Bodennähe:

Zahlenwert:

Anmerkung

In dem allgemein verwendeten Wert von ist der Einfluss der Zentrifugalkraft bereits berücksichtigt. Dieser Wert gilt für eine geographische Breite von In Abhängigkeit von der geographischen Breite gilt in Meereshöhe:

Lösung: