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Aufgabenstellung:

AbbildungDer abgebildete Aufzug besteht aus einem Förderkorb und einem Ausgleichsgewicht. Die Masse des Förderkorbes einschließlich der Ladung ist . Die Masse des Gegengewichts ist . Das Seil ist dehnstarr. Seil und Rollen sind masselos.

  1. Bestimmen Sie mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit des Förderkorbes und dem zurückgelegten Weg, wenn das System sich selbst überlassen wird.
  2. Welche Geschwindigkeit erreicht der Förderkorb nach Zurücklegen des Weges
  3. Welche Beschleunigung erfährt der Förderkorb?

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Weg

Skizze mit angetragenen Ruhelagen und geometrischen Größen:

AbbildungAls Bezugsniveau für die Lageenergie werden die jeweiligen Ruhelagen gewählt.

Der vom Förderkorb zurückgelegte Weg wird ab der Ruhelage positiv nach unten gemessen.

Der vom Gegengewicht zurückgelegte Weg wird ab der Ruhelage positiv nach oben gemessen.

Zwischen Förderkorb und Gegengewicht besteht die kinematische Bindung:

Da das System anfangs in Ruhe ist, lautet der Energieerhaltungssatz:

Dabei ist die kinetische Energie und die Lageenergie, wenn das System die Strecke zurückgelegt hat. ist die Lageenergie im AusgangsZUStand.

Lageenergie im Ausgangszustand:

Lageenergie nach Zurücklegen des Weges

Kinetische Energie nach Zurücklegen des Weges s:

Damit lautet der Energieerhaltungssatz:

Daraus folgt

Für ist d. h. der Förderkorb bewegt sich nach unten. Dann ist die Geschwindigkeit positiv:

Für ist d. h. der Förderkorb bewegt sich nach oben. Dann ist die Geschwindigkeit negativ:

b) Geschwindigkeit nach Zurücklegen des Weges

Mit den gegebenen Zahlenwerten für die Massen ergibt sich eine positive Geschwindigkeit:

c) Beschleunigung

Wenn die Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Orts gegeben ist, lässt sich die Beschleunigung wie folgt berechnen

Die Beschleunigung hat den konstanten Zahlenwert:

Lösung:

  1. Siehe Lösungsweg.