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Aufgabenstellung:

Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Koaxialkabels mit koaxial geschichteten Dielektrika. Das Kabel hat die Länge . Der Radius des Innenleiters ist , der des Außenleiters . Die Grenzschicht der beiden Dielektrika hat den Radius . Das innere Dielektrikum hat die Permittivität , das äußere entsprechend . An das Kabel wird die Spannung angelegt. Der positive Anschluss befindet sich an der Innenelektrode.

Abbildung

a) Es gelte: . Geben Sie für diesen Fall und als Funktion des Radius an. Skizzieren Sie die Feldlinien der elektrischen Flussdichte und der elektrischen Feldstärke .
b) Berechnen Sie unter der obigen Voraussetzung die Kapazität des Kabels.
c) Es gelte: . Geben Sie für diesen Fall und als Funktion des Radius an. Skizzieren Sie die Feldlinien der elektrischen Flussdichte und der elektrischen Feldstärke .
d) Berechen sie unter der obigen Voraussetzung die Kapazität des Kabels.
e) Es gelte:. .Geben Sie für diesen Fall und als Funktion des Radius an. Skizzieren Sie die Feldlinien der elektrischen Flussdichte und der elektrischen Feldstärke .
f) Berechen sie unter der obigen Voraussetzung die Kapazität des Kabels.

 

Hinweis:
Die Randeffekte werden als so klein angenommen, dass sie vernachlässigt werden können. Das Skizzieren der Feldstärken (getrennt für - und -Feld) soll das Verhältnis der Felder zueinander in den beiden Raumbereichen widerspiegeln.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Feldstärke & Flussdichte 

Die Feldstärke und die Flussdichte werden mit Hilfe des Hüllenintegrals berechnet. Um den Innenleiter wird eine konzentrische Zylinderhülle gelegt, so dass aufgrund der Zylindersymmetrie der Betrag der Feldstarke an jedem Punkt des Zylindermantels gleich groß ist. Der Flächenvektor der Zylinderhülle weist nach außen, ebenso die Richtungsvektoren der elektrischen Feldstärke und den elektrischen Flussdichte .

Da die Randeffekte vernachlässigbar sind, werden nur radiale Feldkomponenten berücksichtigt. Die beiden Deckflächen der Zylinderhülle leisten bei der Integration keinen Beitrag. (Außerdem stehen die Feldvektoren senkrecht auf den Flächenvektoren der Deckflächen, so dass die Skalarprodukte Null ergeben).

Da bei einem festen Radius der Betrag der elektrischen Flussdichte an jedem Punkt der Zylindermantelfläche gleich groß ist, vereinfacht sich die Integralbeziehung zu einem einfachen Produkt.

Die Gleichung enthält aber noch die unbekannte Größe , die durch die angelegte Spannung ausgedrückt werden muss. Die Spannung ist gleich der Potenzialdifferenz der beiden Elektroden und wird durch eine Integration der elektrischen Feldstärke bestimmt.

Setzt man die gefundene Lösung für ein, erhält man die gesuchte Beziehung für die elektrische Flussdichte bzw. für die elektrische Feldstärke.

Die Feldbilder der Flussdichte und der Feldstärke unterscheiden sich nicht. Da die Dielektrika in beiden Raumteilen gleich sind, kommt es an der Stelle zu keinen Veränderungen im Feldverlauf.

Abbildung

b) Kapazität

Die Kapazität des Koaxialkabels erhält man aus:

c) Flussdichte & Feldstärke

Haben die beiden Dielektrika verschiedene Permittivitäten, so wird bei gleicher angelegter Spannung die gespeicherte Ladung eine andere sein, als im Falle gleicher Dielektrika. Bei der in Gleichung (2) durchgeführten Integration müssen nun die verschiedenen Permittivitäten in den beiden Raumbereichen berücksichtigt werden. Die elektrische Flussdichte ist, wie man aus Gleichung (1) erkennt, nicht vom Dielektrikum abhängig.

Löst man nach auf, erhält man

Setzt man Gleichung (3) in Gleichung (1) ein, erhält man die Beziehung für die elektrische Flussdichte.

Die Flussdichte ist zwar eine andere als im ersten Fall, aber sie gehorcht in beiden Raumteilen der gleichen Beziehung, da sie unabhängig von ist. Bei der elektrischen Feldstärke ist dies nicht der Fall.

Für den Innenraum gilt:

Für den Außenraum gilt:

Das Feldbild der Flussdichte sieht genau so aus wie im ersten Fall. Das der elektrischen Feldstärke unterscheiden sich dagegen sehr deutlich. An der Grenzschicht bei ändert sich der Betrag der elektrischen Feldstärke sprunghaft. An der Außenseite der Grenzschicht ist er doppelt so hoch wie an der Innenseite.

Abbildung

d) Kapazität

Die Kapazität der Anordnung erhält man wieder aus dem Verhältnis von Spannung und Ladung Man erhält:

e) Skizze

Im dritten Fall sind die dielektrischen Verhältnisse genau umgekehrt wie im zweiten. Hier folgt

In diesem Fall trägt das Koaxialkabel die Ladung

Auch hier gelten für die elektrische Feldstärke im Innen- und im Außenraum verschiedene Beziehungen.

Für den Innenraum gilt:

Für den Außenraum gilt:

Das Feldbild der Flussdichte sieht genau so aus wie im ersten und zweiten Fall. Der Betrag der elektrischen Feldstärke ändert sich auch hier an der Grenzschicht sprunghaft, allerdings ist er jetzt an der Innenseite der Grenzschicht doppelt so hoch wie an der Außenseite.

Abbildung

f) Kapazität

Für die Kapazität der Anordnung erhält man:

Hinweis:

Zur Überprüfung der Ergebnisse führen wir noch eine abschliefenden Konsistenzprüfung durch.

Lässt man in Gleichung (1.16) gegen gehen, so bedeutet dies, dass das Koaxialkabel völlig mit dem Dielektrikum der Permittivität ausgefüllt ist. Die Kapazität nimmt damit den gleichen Wert an wie .

Lässt man hingegen gegen gehen, so ist das Kabel mit dem Dielektrikum mit der Permittivität ausgefüllt, die doppelt so groß ist, wie . Der Wert von wird dann doppelt so groß wie , was bei einem Dielektrikum mit doppeltem Wert auch der Fall sein muss.

Lösung:

Siehe Lösungsweg