Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Koaxialkabels mit koaxial geschichteten Dielektrika. Das Kabel hat die Länge
a) Es gelte:
b) Berechnen Sie unter der obigen Voraussetzung die Kapazität des
c) Es gelte:
d) Berechen sie unter der obigen Voraussetzung die Kapazität des
e) Es gelte:.
f) Berechen sie unter der obigen Voraussetzung die Kapazität des
Hinweis:
Die Randeffekte werden als so klein angenommen, dass sie vernachlässigt werden können. Das Skizzieren der Feldstärken (getrennt für
a) Feldstärke & Flussdichte
Die Feldstärke und die Flussdichte werden mit Hilfe des Hüllenintegrals berechnet. Um den Innenleiter wird eine konzentrische Zylinderhülle gelegt, so dass aufgrund der Zylindersymmetrie der Betrag der Feldstarke an jedem Punkt des Zylindermantels gleich groß ist. Der Flächenvektor der Zylinderhülle weist nach außen, ebenso die Richtungsvektoren der elektrischen Feldstärke
Da die Randeffekte vernachlässigbar sind, werden nur radiale Feldkomponenten berücksichtigt. Die beiden Deckflächen der Zylinderhülle leisten bei der Integration keinen Beitrag. (Außerdem stehen die Feldvektoren senkrecht auf den Flächenvektoren der Deckflächen, so dass die Skalarprodukte Null ergeben).
Da bei einem festen Radius der Betrag der elektrischen Flussdichte an jedem Punkt der Zylindermantelfläche gleich groß ist, vereinfacht sich die Integralbeziehung zu einem einfachen Produkt.
Die Gleichung enthält aber noch die unbekannte Größe
Setzt man die gefundene Lösung für
Die Feldbilder der Flussdichte
b) Kapazität
Die Kapazität des Koaxialkabels erhält man aus:
c) Flussdichte & Feldstärke
Haben die beiden Dielektrika verschiedene Permittivitäten, so wird bei gleicher angelegter Spannung
Löst man nach
Setzt man Gleichung (3) in Gleichung (1) ein, erhält man die Beziehung für die elektrische Flussdichte.
Die Flussdichte ist zwar eine andere als im ersten Fall, aber sie gehorcht in beiden Raumteilen der gleichen Beziehung, da sie unabhängig von
Für den Innenraum gilt:
Für den Außenraum gilt:
Das Feldbild der Flussdichte
d) Kapazität
Die Kapazität der Anordnung erhält man wieder aus dem Verhältnis von Spannung und Ladung Man erhält:
e) Skizze
Im dritten Fall sind die dielektrischen Verhältnisse genau umgekehrt wie im zweiten. Hier folgt
In diesem Fall trägt das Koaxialkabel die Ladung
Auch hier gelten für die elektrische Feldstärke im Innen- und im Außenraum verschiedene Beziehungen.
Für den Innenraum gilt:
Für den Außenraum gilt:
Das Feldbild der Flussdichte
f) Kapazität
Für die Kapazität der Anordnung erhält man:
Hinweis:
Zur Überprüfung der Ergebnisse führen wir noch eine abschliefenden Konsistenzprüfung durch.
Lässt man in Gleichung (1.16)
Lässt man hingegen
Siehe Lösungsweg