Nichtleiter im elektrischen Feld

Potential & Ladung am Kondensator

Kapazität von Kondensatoren

Zusammenschaltung von Kondensatoren

Energie des geladenen Kondensators

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>a) \(<br />Q=2,5 \cdot 10^{-6} \mathrm{As}<br />\)</p>
<p>b) \( \displaystyle F=\frac{1}{2} \frac{U^{2} \cdot C}{d} \)</p>
<p>c) \( U_{2 \mathrm{~d}}=10 \mathrm{kV} \)</p>
<p>\( W=6,25 \cdot 10^{-3} \mathrm{~J} \)</p>

<p>\[<br />Q=500 \cdot 10^{-12} \frac{\mathrm{s}}{\Omega} \cdot 5000 \mathrm{~V}=2,5 \cdot 10^{-6} \mathrm{As}<br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />F&amp;=\frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{\varepsilon_{0} \cdot A}=\frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C \cdot d}\\&amp;=\frac{1}{2} \frac{U \cdot Q}{d}=\frac{1}{2} Q \cdot E\\&amp;=\frac{1}{2} \frac{U^{2} \cdot C}{d}<br />=\frac{1}{2} \frac{U \cdot Q}{d}\\&amp;=\frac{1}{2} \frac{5000 \mathrm{~V} \cdot 2,5 \cdot 10^{-6} \mathrm{As}}{5 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}}=1,25 \mathrm{~N}<br />\end{align}</p>


<p>Der Plattenabstand wird auf \( 2 d \) vergrößert. Die Kapazität ist dann:</p>


<p>Der Plattenabstand wird auf <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 2 d " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.308ex" height="1.593ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1020 704" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2089-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2089-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2089-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-2089-TEX-I-1D451"></use></g></g></g></svg></mjx-container> vergrößert. Die Kapazität ist dann:</p>


<p>\( \displaystyle C=\varepsilon \frac{A}{2 d} \)</p>


<p>\[<br />U_{2 \mathrm{~d}}=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{\varepsilon \frac{A}{2 d}}=\frac{2 \cdot Q}{\varepsilon \frac{A}{d}}<br />\]</p>


<p>Bei unveränderter Plattengröße \( A \) und konstanter Ladung \( Q \) verdoppelt sich die Spannung auf</p>


<p>Bei unveränderter Plattengröße <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2092-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2092-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und konstanter Ladung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" Q " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.79ex" height="2.032ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -704 791 898" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2093-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 296 98T274 52Q274 18 314 18Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2093-TEX-I-1D444"></use></g></g></g></svg></mjx-container> verdoppelt sich die Spannung auf</p>


<p>\( \displaystyle U_{2 \mathrm{~d}}=10 \mathrm{kV} \)</p>


<p>Die im Kondensator gespeicherte Energie ist</p>
<p>\( \displaystyle W=\frac{1}{2} Q U \).</p>


<p>Die im Kondensator gespeicherte Energie ist</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \displaystyle W=\frac{1}{2} Q U " style="vertical-align: -1.552ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.04ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4879.6 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2095-TEX-I-1D44A" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path id="MJX-2095-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2095-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2095-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2095-TEX-I-1D444" d="M399 -80Q399 -47 400 -30T402 -11V-7L387 -11Q341 -22 303 -22Q208 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435Q740 255 592 107Q529 47 461 16L444 8V3Q444 2 449 -24T470 -66T516 -82Q551 -82 583 -60T625 -3Q631 11 638 11Q647 11 649 2Q649 -6 639 -34T611 -100T557 -165T481 -194Q399 -194 399 -87V-80ZM636 468Q636 523 621 564T580 625T530 655T477 665Q429 665 379 640Q277 591 215 464T153 216Q153 110 207 59Q231 38 236 38V46Q236 86 269 120T347 155Q372 155 390 144T417 114T429 82T435 55L448 64Q512 108 557 185T619 334T636 468ZM314 18Q362 18 404 39L403 49Q399 104 366 115Q354 117 347 117Q344 117 341 117T337 118Q317 118 296 98T274 52Q274 18 314 18Z"></path><path id="MJX-2095-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 628Q164 635 107 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2095-TEX-I-1D44A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1325.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2095-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2381.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2095-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2095-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3321.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2095-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4112.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2095-TEX-I-1D448"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>


<p>Bei doppelter Spannung ist also die doppelte Energie im Kondensator gespeichert.</p>


<p>Die notwendige Arbeit entspricht somit</p>


<p>\begin{align}<br />W&amp;=\frac{1}{2} Q U\\&amp;=\frac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 10^{-6} \mathrm{~A} \mathrm{~s} \cdot 5000 \mathrm{~V}=6,25 \cdot 10^{-3} \mathrm{~J} <br />\end{align}</p>


<p>Eine Rechnung mit Kraft mal Weg ist natürlich ebenfalls möglich.</p>


<p>\begin{align}<br />W&amp;=F \cdot s\\&amp;=1,25 \mathrm{~N} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}=6,25 \cdot 10^{-3} \mathrm{~J}<br />\end{align}</p>

<p>Ein Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \( d=5 \mathrm{~mm} \) und der Kapazität \( C=500 \mathrm{pF} \) wurde auf die Spannung \( U=5 \mathrm{kV} \) aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt.</p>
<p>a) Berechnen Sie die Ladung \( Q \) auf den Platten.<br />b) Mit welcher Kraft \( F \) ziehen sich die Kondensatorplatten an?<br />c) Der Plattenabstand wird auf \( d=10 \mathrm{~mm} \) geändert. Wie groß ist jetzt die Spannung \( U_{2 \mathrm{~d}} \) an den Platten? Welche Arbeit \( W \) muss beim Verschieben der Platten verrichtet werden?</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Energie des geladenen Kondensators mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: