7 / 7

Aufgabenstellung:

Die im Bild dargestellte Schaltung enthält eine Spule mit der Induktivität sowie die Wirkwiderstände und Die Versorgungsspannung beträgt . Im Zeitpunkt wird der Schalter geschlossen.

Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes (für ) anzugeben und grafisch darzustellen.

Schaltvorgang in einem ohmsch-induktiven Stromkreis:

Abbildung

a) Gegebene Schaltung, b) vorliegende Schaltung nach dem Einschalten des Schalters, c) zeitlicher Verlauf des im Kreis fließenden Stromes

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Durch das Schließen des Schalters entsteht die in Bild b dargestellte Schaltung. Darin ist

Mit und wird daraus

Es entsteht also eine Differenzialgleichung. Zu deren Lösung zerlegen wir den gesuchten Strom in

Hierbei sei derjenige Strom, der sich nach längerer Zeit einstellt. Er wird als eingeschwungener oder als stationärer Strom bezeichnet. Damit ist ein vorübergehend auftretender Strom, den man freien oder flüchtigen Strom nennt. Setzen wir den Strom ein ein, so ergibt sich

Da der Strom in den stationären Strom übergeht, muss gelten:

Durch Subtrahieren ergibt sich:

Wir erhalten also zur Bestimmung der Ströme und zwei voneinander unabhängige Gleichungen. Sie ermöglichen die getrennte Bestimmung der Ströme.

Den stationären Strom finden wir in einfacher Weise aus der Überlegung, dass der sich in Bild b einstellende Strom zeitlich konstant (und somit ) ist.

Der Strom beträgt daher

Zur Ermittlung des freien Stromes trennen wir die Variablen und erhalten

Daraus wird durch Integrieren, wenn wir den im Zeitpunkt vorhandenen freien Strom als bezeichnen und den in einem beliebigen Zeitpunkt vorhandenen freien Strom als ,

Durch Ausführen der Integration und Einsetzen der Grenzen finden wir

Daraus folgt, wenn wir und nachfolgend als Variable ansehen mit und ,

Damit haben wir die Lösung für den Verlauf des freien Stromes gefunden, wobei allerdings die Konstante noch nicht bekannt ist. Die Konstante wird als Zeitkonstante bezeichnet und beträgt im vorliegenden Fall

Ergebnisse einsetzen bringt:

Zur Bestimmung der hierin enthaltenen Konstanten betrachten wir die Schaltung nach Bild a im Zeitpunkt und berücksichtigen dabei, dass sich der im Kreis fließende Strom infolge der vorhandenen Induktivität nicht sprunghaft ändern kann. Folglich muss der bei (unmittelbar nach dem Schließen des Schalters) auftretende Strom gleich dem Strom sein, der vor dem Schließen des Schalters fließt. Man bezeichnet diese Bedingung als Anfangsbedingung.

Sie besteht im vorliegenden Fall darin, dass im Zeitpunkt der Strom

auftritt. Setzen wir diese Anfangsbedingung ein, so ergibt sich

Hieraus folgt, wenn wir berücksichtigen, dass ist,

Wir setzen dieses Ergebnis ein und erhalten so als Lösung für den gesuchten Strom

In Bild c ist der zeitliche Verlauf dargestellt. Der Strom steigt also (nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten ) von auf an.

Lösung: