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Aufgabenstellung:

Die Schaltung nach Bild a enthält eine Spule mit der Induktivität sowie die beiden Wirkwiderstände und . Die (sinusförmige) Eingangsspannung hat einen Scheitelwert von und eine Frequenz von . Der Schalter wird nach dem positiven Nulldurchgang der Spannung geschlossen.

Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes für zu ermitteln und grafisch dazustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt )

Abbildung

Bild: Schaltvorgang in einem ohmsch-induktiven Stromkreis. a) Gegebene Schaltung, b) Ersatzschaltung nach dem Einschalten des Schalters, c) zeitlicher Verlauf des Stromes für (als Überlagerung des stationären Stromes und des freien Stromes ) sowie zeitlicher Verlauf der Spannung

Lösungsweg:

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Nach dem Schließen des Schalters liegen in Bild a die beiden Widerstände und parallel. Es entsteht die Schaltung nach Bild b mit dem Widerstand

Zur Lösung dieser Differenzialgleichung verwenden wir den Ansatz

Hierbei hat der stationäre Strom bei dem Spulen-Blindwiderstand

den Scheitelwert

und eilt der anliegenden Wechselspannung um den Phasenverschiebungswinkel

nach. Damit lautet die Gleichung für den zeitlichen Verlauf des stationären Stromes

Für den freien Strom lautet die allgemeine Lösung

Hierbei beträgt die Zeitkonstante

Setzen wir die Ergebnisse ein, so ergibt sich

Die hierin enthaltene Konstante erhalten wir aus der Überlegung, dass sich der Strom infolge der vorhandenen Induktivität nicht sprunghaft ändem kann. Vor dem Schließen des Schalters fließt in der Schaltung nach Bild a ein Wechselstrom mit dem Scheitelwert

In Bild b gilt

Da der Schalter um den Phasenwinkel nach dem positiven Nulldurchgang der Versorgungsspannung geschlossen wird, können wir diese durch

darstellen. Dann ergibt sich mit

Dieser Strom eilt der anliegenden Wechselspannung um den Phasenverschiebungswinkel

nach. Der Strom kann daher durch

dargestellt werden. Er hat im Zeitpunkt somit den Augenblickswert

Wir setzen diese Anfangsbedingung in Gl. (14.38) ein und erhalten

Hieraus folgt mit

Damit lautet die endgültige Lösung für den gesuchten Strom

In dieser Gleichung ist die Kreisfrequenz der Wechselspannung. Den Verlauf des Stromes als Überlagerung des stationären (sinusförmigen) Stromes und des freien (nach einer e-Funktion abklingenden) Stromes - zeigt Bild c. Ebenfalls eingetragen ist der zeitliche Verlauf der Wechselspannung . Deren Periodendauer beträgt .

Lösung: