KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

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Test

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addition

Stationäre Stoffübertragung

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Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

<p>\[\mathrm{x} =\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\mathrm{Fa}}{\mathrm{EA}}\]</p>

<p>Nachdem Nullstäbe weggenommen sind, sieht das Fachwerk so aus:</p>


<p>Gleichgewichtsbedingungen am gesamten Körper:</p>


<p>\[<br />\sum F_{x}=0 \ \, \quad \Rightarrow A_{x}-F=0 \quad \quad \quad \quad \Rightarrow A_{x}=F <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum M_{A}=0  \quad  \Rightarrow<br />2 a \cdot B_{y}+a \cdot F=0 \quad \Rightarrow B_{y}=-\frac{F}{2} <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{y}=0 \ \ \quad \Rightarrow A_{y}+B_{y}=0 \quad \quad \ \ \,  \quad \Rightarrow A_{y}=\frac{F}{2} <br />\]</p>


<p>\[\sum F_{x}=0 \ \ \quad \Rightarrow -S_{6}-F=0\quad \quad \ \quad \Rightarrow S_{6}=-F \]</p>


<p>\[<br />\sum F_{y}=0 \quad \Rightarrow A_{y}+S_{3} \cdot \sin 45^{\circ}=0 \quad \quad \quad \ \ \Rightarrow S_{3}=-\frac{F}{\sqrt{2}} \]</p>


<p>\[<br />\sum F_{x}=0 \quad \Rightarrow S_{3} \cdot \cos 45^{\circ}+S_{4}+A_{x}=0 \quad \Rightarrow S_{4}=-\frac{F}{2}<br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{y}=0 \quad \Rightarrow -S_{5} \cdot \sin 45^{\circ}-S_{3} \cdot \sin 45^{\circ}=0 \quad \Rightarrow  S_{5}=\frac{F}{\sqrt{2}}<br />\]</p>


<p>Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Stabkräfte für das "0" - System:</p>


<p>\[<br />\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}<br />\hline S_{1} &amp; S_{2} &amp; S_{3} &amp; S_{4} &amp; S_{5} &amp; S_{6} &amp; S_{7} \\<br />\hline 0 &amp; 0 &amp; -\frac{F}{\sqrt{2}} &amp; -\frac{F}{2} &amp; \frac{F}{\sqrt{2}} &amp; -F &amp; 0 \\<br />\hline<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>"1" - System für die vertikale Richtung am Punkt $E$ (Skizze):</p>


<p>"1" - System für die vertikale Richtung am Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="E" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-741-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-741-TEX-I-1D438"></use></g></g></g></svg></mjx-container> (Skizze):</p>


<p>\[<br />\sum \mathrm{F}_{\mathrm{x}}=0 \ \ \ \ \quad \Rightarrow \mathrm{A}_{\mathrm{x}}=0 <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum \mathrm{M}^{(\mathrm{A})}=0 \quad \Rightarrow 2 \mathrm{a} \cdot \mathrm{B}_{\mathrm{y}}+\mathrm{a} \cdot ^"1^"=0 \quad \Rightarrow \mathrm{B}_{\mathrm{y}}=-\frac{1}{2} <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{y}=0 \quad \ \ \ \ \Rightarrow A_{y}+B_{y}-^"1^"=0 \quad \ \   \Rightarrow A_{y}=\frac{3}{2} <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{y}=0 \quad \Rightarrow ^"1^"+\mathrm{S}_{1} \cdot \sin 45^{\circ}=0 \quad \ \ \Rightarrow \mathrm{S}_{1}=-\sqrt{2} <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{x}=0 \quad \Rightarrow S_{1} \cdot \cos 45^{\circ}+S_{2}=0 \quad \ \ \  \Rightarrow S_{2}=1 <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{x}=0 \quad \Rightarrow S_{3} \cdot \sin 45^{\circ}+S_{5} \cdot \sin 45^{\circ}=0 \quad \Rightarrow S_{3}=-S_{5} <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{y}=0 \quad \Rightarrow S_{5} \cdot \cos 45^{\circ}-S_{3} \cdot \cos 45^{\circ}-S_{2}=0 \quad \Rightarrow S_{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, \ S_{5}=\frac{1}{\sqrt{2}} <br />\]</p>


<p>\[<br />\sum F_{x}=0 \quad \Rightarrow S_{4}+S_{5} \cdot \cos 45^{\circ}=0 \quad  \Rightarrow S_{4}=-\frac{1}{2} <br />\]</p>


<p>Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Stabkräfte für das "1" - System:</p>


<p>\[<br />\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}<br />\hline S_{1} &amp; S_{2} &amp; S_{3} &amp; S_{4} &amp; S_{5} &amp; S_{6} &amp; S_{7} \\<br />\hline-\sqrt{2} &amp; 1 &amp; -\frac{1}{\sqrt{2}} &amp; -\frac{1}{2} &amp; \frac{1}{\sqrt{2}} &amp; 0 &amp; 0 \\<br />\hline<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>\[<br />\mathrm{x} =\sum_{\mathrm{i}=1}^{7} \frac{S_{\mathrm{i}}^{(0)} \cdot S_{\mathrm{i}}^{(1)}}{(EA)_{\mathrm{i}}} \cdot I_{\mathrm{i}} \]</p>


<p>\[<br />\mathrm{x} =\frac{1}{\mathrm{EA}}\left(\mathrm{S}_{3}^{(0)} \cdot \mathrm{S}_{3}^{(1)} \cdot \sqrt{2} \mathrm{a}+\mathrm{S}_{4}^{(0)} \cdot \mathrm{S}_{4}^{(1)} \cdot 2 \mathrm{a}+\mathrm{S}_{5}^{(0)} \cdot \mathrm{S}_{5}^{(1)} \cdot \sqrt{2} \mathrm{a}\right) \]</p>
<p>\[<br />\mathrm{x} =\frac{1}{\mathrm{EA}}\left(\frac{\mathrm{F} \cdot \sqrt{2} \mathrm{a}}{2}+\frac{\mathrm{F} \cdot \mathrm{a}}{2}+\frac{\mathrm{F} \cdot \sqrt{2} \mathrm{a}}{2}\right) \]</p>


<p>\[<br />\mathrm{x} =\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\mathrm{Fa}}{\mathrm{EA}}<br />\]</p>

<p><img style="width: 100%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/607d1a96b29296cf2249ee04.png" alt="Abbildung" width="649" height="255" /></p>
<p>Das unten dargestellte Fachwerk besteht aus $7$ Stäben $(EA)$ und ist am Punkt $C$ mit der Kraft $F$ belastet. Berechnen Sie die Verschiebung des Punkts $E$ in vertikaler Richtung.<br /><strong>Gegeben:</strong> $a,\ EA,\ F$</p>

<p><img style="width: 100%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/607d1a96b29296cf2249ee04.png" alt="Abbildung" width="649" height="255" /></p>
<p>Das unten dargestellte Fachwerk besteht aus <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="7" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.579ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -676 500 698" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-727-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="37" xlink:href="#MJX-727-TEX-N-37"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Stäben <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(EA)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.186ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2292 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-728-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-728-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path><path id="MJX-728-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-728-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-728-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-728-TEX-I-1D438"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1153,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-728-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1903,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-728-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und ist am Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="C" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-729-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-729-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit der Kraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.695ex" height="1.538ex" 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data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-730-TEX-I-1D439"></use></g></g></g></svg></mjx-container> belastet. Berechnen Sie die Verschiebung des Punkts <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="E" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-731-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TUHH-TM2 mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: