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Aufgabenstellung:

Leiten Sie das Coulomb'sche Gesetz mit dem Satz von Gauß her.

Lösungsweg:

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Herleitung

Der Satz von Gauß lautet:

In Worten:

Der Wert des Integrals der elektrischen Flussdichte über eine geschlossene Fläche entspricht der Summe der von der Fläche umschlossenen Ladungen .

Oder:
Der von der Ladung ausgehende Fluss ist stets gleich der innerhalb der Hülle vorhandenen Ladung.

Eine punktförmige Ladung im Ursprung eines Koordinatensystems wird von einer kugelförmigen Hülle um den Ursprung eingeschlossen.

Es folgt:

Da das elektrische Feld an allen Punkten der Kugeloberfläche gleich groß ist, kann es vor das Oberflächenintegral gezogen werden.
Sowohl der Flächenvektor als auch das elektrische Feld zeigen an jedem Punkt der Gauß'schen Fläche (Kugeloberffäche) senkrecht nach außen, beide sind radialsymmetrisch.
Das Skalarprodukt ist somit einfach zu berechnen, da der Winkel zwischen den Vektoren und null und der Cosinus dieses Winkels eins ist:

Es folgt:

Umstellen ergibt die Feldstärke im Abstand von der Punktladung .

Die Kraft auf eine Punktladung in diesem elektrischen Feld ergibt sich aus der Feldstärke und dem Zusammenhang  zu:

Das elektrostatische Feld einer geladenen Kugel ist in deren Außenraum mit dem Feld einer Punktladung im Kugelmittelpunkt identisch. Das Coulomb'sche Gesetz darf nur angewandt werden, wenn die beiden Ladungen und als Punktladungen aufgefasst werden können.

Lösung:

Siehe Lösungsweg