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Aufgabenstellung:

Eine Metallkugel mit dem Radius ist in einem Raum isoliert aufgehängt und trägt die positive Ladung . Gegenüber dem Kugelradius kann der Raum als unendlich groß angesehen werden. Der Raum sei luftgefüllt (d.h. ).

a) Geben Sie einen Ausdruck für die elektrische Flussdichte (Betrag und Richtung) an.
b) Wie groß ist der Betrag der elektrischen Feldstärke an der Kugeloberfläche?
c) Skizzieren Sie maßstäblich den Verlauf des Betrags der Feldstärke für .
d) Ermitteln Sie eine allgemeine Beziehung für die Spannung zwischen der Metallkugel und den weit entfernten Begrenzungsflächen des Raumes. Wie groß ist diese Spannung zahlenmäßig?
e) Skizzieren Sie maßstäblich analog zu Teil c) den Verlauf des Betrags der Feldstärke, sofern die Metallkugel nun zusätzlich mit einer dicken Isolierschicht mit der Dielektrizitätszahl umhüllt ist.

Lösungsweg:

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a) Flussdichte

Wenn die umgebenden Wände weit entfernt sind, darf deren Einfluss vernachlässigt werden. Daher darf das Gesamtproblem in der Umgebung der Kugel als kugelsymmetrisch betrachtet werden.

Das Nahfeld der Kugel ist folglich von der Richtung (Winkel sowie in Kugelkoordinaten) unabhängig. Es bleibt lediglich die Abhängigkeit vom Radius Abstand zum Mittelpunkt der Kugel).

Da die Ladung positiv ist, gehen von der Kugel Feldlinien aus (und enden auf der zugehörigen negativen Ladung auf den weit entfernten Wänden).

Die Feldstärke bzw. die Flussdichte ist also radial nach außen gerichtet. Mit dem Gauss' schen Satz ergibt sich

üää

gültig für

Die angegebene Gleichung für D gilt nur außerhalb der Metallkugel, da sich die Ladung aufgrund der abstoßenden Kräfte und der Leitfähigkeit im Metall auf der Oberfläche verteilt. Jede Hüllfläche innerhalb der Kugel schließt keine Ladung ein. Das Metallinnere ist also (wie bekannt) feldfrei.

b) Feldstärke

c) Skizze

Wie in a) erwähnt, ist das Innere von Leitern (bekanntlich) feldfrei.
d.h. für verschwindet die Feldstärke . Der Wert für wurde in Teil b) berechnet. V

on diesem Wert ausgehend fällt die Feldstärke proportional zu ab (Hinweis: Weil die Feldstärke nur eine radiale Komponente besitzt, ist der Betrag der Feldstärke gleich dem Betrag der Radialkomponente, die im vorliegenden Fall wegen positiv ist) (s. folgendes Diagramm).

Abbildung

d) Spannung

Die Spannung ergibt sich durch Summation vieler kleiner Teilspannungen bzw. im Grenzfall durch Integration vom Startpunkt zum Endpunkt (d.h. für also von nach ).

Die Feldstärke weist nur eine radiale Komponente auf, so dass nur die Teilstücke der Kurve in radialer Richtung einen Beitrag liefern.

Daher dürfen wir o.B.d.A. davon ausgehen, dass sich Start- und Endpunkt auf einem radial nach außen verlaufenden Strahl befinden (Anmerkung: Für beliebige Form des geladenen Körpers wären Feld und Spannungsberechnung erheblich komplizierter). Es gilt also

e) Skizze

An der elektrischen Flussdichte ändert das Aufbringen der dielektrischen Schicht nichts (Anmerkung: Dies gilt allerdings nur, weil die Kugelsymmetrie dadurch nicht gestört wird).

An der elektrischen Feldstärke ändert sich für und nichts. Dazwischen wird allerdings wegen um den Faktor gegenüber den Werten in Teil c) reduziert.

Damit ergibt sich unmittelbar der bereits im Diagramm in Teil c) skizzierte modifizierte Verlauf (vgl. Verlauf mit der Bezeichnung, in Teil ).

Lösung:

Siehe Lösungsweg