Querkraftschub

schubspannung

Biegelinie

Flächenträgheitsmomente

Normalspannungen

Produkte

Cauchy

Differentialrechnung 

Lineare Abbildungen

Taylorreihe/Taylorpolynom

Konvergenz rekursiver nichtmonotoner Zahlenfolgen

dualraum

Jordan Normal FOrm

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Vorlesung Technische Mechanik

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\( M_{y m a x}=\rho g A L^{2} / 4, \quad w_{\max }=0,02083 \rho g L^{4} /\left(E i_{y}^{2}\right) \)</li>
<li>\( M_{y \max }=\rho g A L^{2} / 8, \quad w_{\max }=0,01302 \rho g L^{4} /\left(E i_{y}^{2}\right) \)</li>
</ol>

<p>\begin{align} <br />Q_{z}(x)&amp;=-\left(-A_{z}+\left\langle x-\frac{L}{2}\right\rangle^{0} G\right) \\\\<br />M_{y}(x)&amp;=A_{z} x-\left\langle x-\frac{L}{2}\right\rangle G+c_{1}<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />M_{y}(0)&amp;=0 \quad \Rightarrow c_{1}=0 \\\\<br />M_{y}(L)&amp;=0: \quad A_{z} L-\frac{L}{2} G=0  \quad \Rightarrow A_{z}=\frac{G}{2} \\\\<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\Rightarrow M_{y}&amp;=\frac{G}{2} x-\left\langle x-\frac{L}{2}\right\rangle G \\\\<br />\Rightarrow M_{y m a x}&amp;=M_{y}\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{1}{4} G L <br />\end{align}</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" G=\rho g A L " style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.282ex" height="2.109ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 4544.6 932" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-79-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path><path id="MJX-79-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-79-TEX-I-1D70C" d="M58 -216Q25 -216 23 -186Q23 -176 73 26T127 234Q143 289 182 341Q252 427 341 441Q343 441 349 441T359 442Q432 442 471 394T510 276Q510 219 486 165T425 74T345 13T266 -10H255H248Q197 -10 165 35L160 41L133 -71Q108 -168 104 -181T92 -202Q76 -216 58 -216ZM424 322Q424 359 407 382T357 405Q322 405 287 376T231 300Q217 269 193 170L176 102Q193 26 260 26Q298 26 334 62Q367 92 389 158T418 266T424 322Z"></path><path id="MJX-79-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-79-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-79-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43A" xlink:href="#MJX-79-TEX-I-1D43A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1063.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-79-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2119.6,0)"><use data-c="1D70C" xlink:href="#MJX-79-TEX-I-1D70C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2636.6,0)"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-79-TEX-I-1D454"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3113.6,0)"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-79-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3863.6,0)"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-79-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />E I_{y} \frac{d^{2} w}{d x^{2}}&amp;=-M_{y}=-\frac{G}{2} x+\left\langle x-\frac{L}{2}\right\rangle G \\\\<br />E I_{y} \frac{d w}{d x}&amp;=-\frac{G}{4} x^{2}+\frac{1}{2}\left\langle x-\frac{L}{2}\right\rangle^{2} G+c_{2} \\\\<br />E I_{y} w&amp;=-\frac{G}{12} x^{3}+\frac{1}{6}\left\langle x-\frac{L}{2}\right\rangle^{3} G+c_{2} x+c_{3}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;w(0)=0 \quad \Rightarrow c_{3}=0 \\\\<br />&amp;w(L)=0: \quad-\frac{G L^{3}}{12}+\frac{G L^{3}}{48}+c_{2} L=0  \quad\Rightarrow c_{2}=\frac{G L^{2}}{16}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>b) Gewichtskraft als Streckenlast</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;q_{z}=q_{0}=\rho g A \\\\<br />&amp;Q_{z}(x)=-\rho g a x+c_{1} \\\\<br />&amp;M_{y}(x)=-\frac{1}{2} \rho g A x^{2}+c_{1} x+c_{2}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;M_{y}(0)=0 \quad \Rightarrow c_{2}=0 \\\\<br />&amp;M_{y}(L)=0: \quad -\frac{1}{2} \rho g A L^{2}+c_{1} L=0 \quad \Rightarrow c_{1}=\frac{1}{2} \rho g A L<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\Rightarrow Q_{z}(x)&amp;=\frac{1}{2} \rho g A L\left(1-2 \frac{x}{L}\right), M_{y}(x)=\frac{1}{2} \rho g A L^{2}\left[\frac{x}{L}-\left(\frac{x}{L}\right)^{2}\right] \\\\<br />\Rightarrow  M_{y \max }&amp;=M_{y}\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{1}{2} \rho g A L^{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8} q_{0} L^{2}=\frac{1}{8} \rho g A L^{2}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />E I_{y} \frac{d^{2} w}{d x^{2}}&amp;=-M_{y}=\frac{1}{2} \rho g A L^{2}\left[\left(\frac{x}{L}\right)^{2}-\frac{x}{L}\right] \\\\<br />E I_{y} \frac{d w}{d x}&amp;=\frac{1}{2} \rho g A L^{3}\left[\frac{1}{3}\left(\frac{x}{L}\right)^{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{L}\right)^{2}+c_{2}\right] \\<br />&amp;=\frac{\rho g A L^{3}}{12}\left[2\left(\frac{x}{L}\right)^{3}-3\left(\frac{x}{L}\right)^{2}+6 c_{2}\right] \\\\<br />E I_{y} w&amp;=\frac{\rho g A L^{4}}{12}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{x}{L}\right)^{4}-\left(\frac{x}{L}\right)^{3}+6 c_{2} \frac{x}{L}+c_{3}\right] \\<br />&amp;=\frac{\rho g A L^{4}}{24}\left[\left(\frac{x}{L}\right)^{4}-2\left(\frac{x}{L}\right)^{3}+12 c_{2} \frac{x}{L}+2 c_{3}\right]<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;w(0)=0 \quad \Rightarrow c_{3}=0 \\<br />&amp;w(L)=0: \quad1-2+12 c_{2}=0 \quad \Rightarrow c_{2}=\frac{1}{12}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\Rightarrow w(x)&amp;=\frac{\rho g A L^{4}}{24 E I_{y}}\left[\left(\frac{x}{L}\right)^{4}-2\left(\frac{x}{L}\right)^{3}+\frac{x}{L}\right] \\\\<br />\Rightarrow w_{\max }&amp;=w\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{\rho g A L^{4}}{24 E I_{y}}\left(\frac{1}{16}-\frac{2}{8}+\frac{1}{2}\right] \\\\<br />&amp;=\frac{5}{384} \frac{\rho g A L^{4}}{E A i_{y}^{2}} \\\\<br />&amp;=0,01302 \frac{\rho g L^{4}}{E i_{y}^{2}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Die mit der Gewichtskraft als Einzelkraft ermittelten Ergebnisse sind deutlich zu groß.</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Der abgebildete Balken ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Er wird durch sein Eigengewicht belastet.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602fa5ef2fe7b3a4e587018b.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p>Ermitteln Sie das maximale Biegemoment \( M_{y m a x} \) und die maximale Verschiebung \( w_{\max } \)</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>wenn die Gewichtskraft als im Schwerpunkt angreifende Einzelkraft angenommen wird, und</li>
<li>wenn die Gewichtskraft korrekt als Streckenlast behandelt wird,und vergleichen Sie die Ergebnisse.</li>
</ol>
<p>Gegeben sind die Länge \( L \), der Elastizitätsmodul \( E \), die Massendichte \( \rho \), die Querschnittsfläche \( A \) und der Trägheitsradius \( i_{y} \)</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Der abgebildete Balken ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Er wird durch sein Eigengewicht belastet.</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602fa5ef2fe7b3a4e587018b.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p>Ermitteln Sie das maximale Biegemoment <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" M_{y m a x} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.332ex" height="2.213ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2798.8 978" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-69-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 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<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>wenn die Gewichtskraft als im Schwerpunkt angreifende Einzelkraft angenommen wird, und</li>
<li>wenn die Gewichtskraft korrekt als Streckenlast behandelt wird,und vergleichen Sie die Ergebnisse.</li>
</ol>
<p>Gegeben sind die Länge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" L " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.541ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 681 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-71-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-71-TEX-I-1D43F"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, der Elastizitätsmodul <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.729ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 764 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-72-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Biegelinie mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: